Đáp án:

  a) Tứ giác MDHE có ∠M=∠D=∠e=90∘

Vậy tứ giác MDHE là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông.
  b) Ta có: ∠DEH=∠MHE (do MDHE là hình chữ nhật)
∠HEA=∠EHA (dễ dàng chứng minh được △HEA cân tại A nhờ giả thiết A trung điểm HP và HE⊥MP)
Mà ∠MHE+∠EHA=90∘ 

nên ∠DEH+∠HEA=∠DEA=90∘
⇒ đ.p.c.m
  c) Ta có: DE=MH
2EA=HP
Để DE=2EA thì MH=HP
 ⇔ Tam giác MHP cân tại H
 ⇔ Tam giác MHP vuông cân tại H
 ⇔ ∠P=45∘
 ⇔ Tam giác MNP vuông cân tại M.

Giải thích các bước giải:

$@Bello$

$\text{a)}$

MDHE có $3$ góc vuông nên $\text{MDHE}$ Ɩà hình chữ nhật

$\text{b)}$

$\text{MDHE}$ Ɩà hình chữ nhật nên $\widehat{\text{MHE}}=\widehat{\text{DEH}}$

$Δ\text{HEP}$ vuông tại $\text{E}$ có trung tuyến $\text{EA}$ nên $\text{EA = AH = AP}$

$⇒Δ\text{HEA}$ cân tại $\text{A}$ nên $\widehat{\text{AHE}}=\widehat{\text{AEH}}$

$⇒\widehat{\text{DEA}}=\widehat{\text{DEH}}+\widehat{\text{HEA}}=\widehat{\text{MHE}}+\widehat{\text{EHP}}=\widehat{\text{MHP}}=90^\text{o}$

$⇒Δ\text{DEA}$ vuông tại $\text{E}$

$\text{c)}$

$\text{MDHE}$ Ɩà hình chữ nhật nên $\text{DE = MH}$

$⇒Δ\text{HEP}$ vuông tại $\text{E}$ nên $\text{HP = 2EA}$

$⇒\text{MH = HP}$ hay $Δ\text{MHP}$ vuông cân tại $\text{H}$ hay $Δ\text{NMP}$ vuông cân tại $\text{M}$