1) xét ΔAIB và ΔAIC có:

BI=IC;

góc AIB=góc AIC=90 độ;

AI chung;

=> ΔAIB = ΔAIC (c-g-c);

.

2) vì ΔAIB = ΔAIC

=> góc bAI =góc CAI (2 góc tương ứng );

hay góc HAI =góc KAI ;

xét ΔAHI và ΔAKi ta có:

góc AHI = góc AKI =90 độ;

AI chung;

góc HAI =góc KAI (cmt);

=> ΔAHI = ΔAKi (cạnh huyền - góc nhọn);

=> AH=Ak (2 cạnh tương ứng);

=> ΔAHK cân

.

3) gọi giao điểm AI và BK là O;

xét Δ AHO và ΔAKO ta có

AH=Ak (cmt);

góc HAI =góc KAI (cmt);

AO chung;

=> Δ AHO = ΔAKO (c-g-c);

=> góc AOK =góc AOH

mà góc AOK + góc AOH=180 độ(vì là 2 góc kề bù);

=> góc AOK =góc AOH=180:2=90 độ;

=> AO vuông góc HK hay AI vuông góc HK  (1);

vì ΔAIB = ΔAIC (ở câu a);

=> góc AIB=góc AIC ;

mà góc AIB+góc AIC=180 độ(vì là 2 góc kề bù);

=> góc AIB=góc AIC =180 :2=90 độ;

=> AI vuông góc với BC                                  (2);

Từ (1) và (2);

=> $\text {AI vuông góc HK} $ và $\text {AI vuông góc với BC } $;

=> HK\\BC