Ta có: `u_n=1/sqrt(n^2+1)+1/sqrt(n^2+2)+...+1/sqrt(n^2+n)`

Do `n>=1<=>n^2>=1`

`=>1/sqrt(n^2+n)+1/sqrt(n^2+n)+...+1/sqrt(n^2+n)<=u_n<=1/sqrt(n^2+1)+1/sqrt(n^2+1)+...+1/sqrt(n^2+1)`

`=>n/sqrt(n^2+n)<=u_n<=n/sqrt(n^2+1)`

Ta có: `sqrt(n^2+1)>sqrt(n^2)=1=>n/sqrt(n^2+1)<1=>u_n<1`

Do `n>=1<=>n^2>=n<=>n^2+n^2>=n+n^2`

`<=>2n^2>=n^2+n<=>nsqrt2>=sqrt(n^2+n)`

`<=>n/(sqrt(n^2+n))>=1/sqrt2`

`=>u_n>=1/sqrt2`

Nên `1/sqrt2<=u_n<1`

Vậy dãy số bị chặn trên bởi `M=1` và bị chặn dưới bởi `m=1/sqrt2`

Gửi bạn

Xem ảnh dưới

 Sửa dòng chặn dưới:

$\begin{array}{l}
{n^2} \ge 1 \Leftrightarrow {n^2} \ge n \Leftrightarrow 2{n^2} \ge {n^2} + n\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{{n^2}}}{{{n^2} + n}} \ge \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{n}{{\sqrt {{n^2} + n} }} \ge \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\
 \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \le {u_n} < 1
\end{array}$