Đáp án + Giải thích các bước giải:

a) Vì góc MCB  là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên góc MCB = 90

Xét tam giác BMC và tam giác BDA có: góc B chung; góc MCB = góc DAB = 90

⇒ tam giác BMC đồng dạng với tam giác BDA (g-g) ⇒ góc BMC = góc BDA hay góc BMC = góc CDA

tứ giác AMCD có góc BMC = góc CDA ( tại đỉnh D có góc kề ngoài bằng góc đối trong )

⇒ đpcm

b) Vì tứ giác AMCD nội tiếp nên góc ADM = góc ACM ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM) (1)

Vì CA là tia tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) chắn cung CM; góc MBC là góc nội tiếp chắn cung CM nên góc ACM = góc MBC (2)

từ (1), (2) ⇒ góc ADM = góc MBC hay góc ADM = góc ABD

xét tam giác ADM và tam giác ABD có : góc ADM = góc ABD; góc DAM = góc BAD = 90

⇒ tam giác ADM đồng dạng với tam giác ABD (g-g)

⇒ AD/AB =AM/AD ⇒AD.AD = AM.AB (đpcm)

c) Xét tam giác ACM và tam giác ABC có:

góc ACM = góc ABC ( vì góc ACM = góc MBC); góc A chung

⇒ tam giác ACM đồng dạng với tam giác ABC (g-g)

⇒ góc AMC = góc ACB 

Vì E là điểm đối xứng với D qua A nên DA = AE

tam giác DME có MA vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến

⇒ tam giác DME cân tại M 

⇒ MA cũng là đường phân giác của tam giác DME

⇒ góc AME = góc AMD (3)

vì AMCD là tứ giác nội tiếp nên góc AMD = góc ACD ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD ) (4)

TỪ (3), (4) ⇒ góc AME = góc ACD

ta có: góc AMC + góc  AME = góc ACB + góc ACD = 180 (vì góc ACB và góc ACD là hai góc kề bù)

⇒ đpcm