Đáp án:

b) B đối xứng với M qua D

c) Tứ giác AIHE là hình thoi

d) $\triangle ABC$ vuông cân tại A thì tứ giác AMCH là hình vuông

Giải thích các bước giải:

b)

Xét tứ giác AHCM:

E là trung điểm của AC (gt)

E là trung điểm của HM (gt)

$\to$ Tứ giác AHCM là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

Mà $AH\bot HC\,\,\,(AH\bot BC)$

$\to$ Tứ giác AHCM là hình chữ nhật

$\to AM//HC, AM=HC$

Xét tứ giác ABHM:

$AM//BH\,\,\,(AM//HC)\\AM=BH\,\,\,(=HC)$

$\to$ Tứ giác ABHM là hình bình hành (2 cạnh đối song song và bằng nhau)

Lại có: D là trung điểm của đường chéo AH

$\to$ D là trung điểm của đường chéo BM

$\to BD=DM$

$\to$ B đối xứng với M qua D

c)

Xét $\triangle AHC$:

D là trung điểm của AH (gt)

E là trung điểm của AC (gt)

$\to$ DE là đường trung bình của $\triangle AHC$

$\to DE//HC\to IE//BC$

$\to DE=\dfrac{1}{2}HC\to DE=\dfrac{1}{4}BC$

Xét $\triangle AHB$:

D là trung điểm của AH (gt)

$DI//HB\,\,\,(IE//BC)$

$\to$ DI là đường trung bình của $\triangle AHB$

$\to DI=\dfrac{1}{2}HB\to DI=\dfrac{1}{4}BC$

$\to DI+DE=\dfrac{1}{2}BC\to IE=2DI=\dfrac{1}{2}BC$

$\to$ D là trung điểm của IE

Xét tứ giác AIHE:

D là trung điểm của AH (gt)

D là trung điểm của IE (cmt)

$\to$ Tứ giác AIHE là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Lại có:

$AH\bot BC, IE//BC\\\to AH\bot IE$

$\to$ Tứ giác AIHE là hình thoi

d)

Tứ giác AMCH là hình chữ nhật (cmt)

Để tứ giác AMCH là hình vuông

$\to AH=HC$

Mà $HC=\dfrac{1}{2}BC$

$\to AH=\dfrac{1}{2}BC$ (1)

Lại có: $\triangle ABC$ cân tại A, đường cao AH

$\to$ AH đồng thời là trung tuyến (2)

Từ (1), (2) $\to \triangle ABC$ vuông cân tại A (tam giác có đường trung tuyến bằng nửa cạnh đối diện là tam giác vuông)