Giải thích các bước giải:

a,

ABCD là hình bình hàng nên  \(\left\{ \begin{array}{l}
AB//CD\\
AB = CD
\end{array} \right.\)

M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD nên \(\left\{ \begin{array}{l}
MB//CN\\
MB = CN
\end{array} \right.\)

Tứ giác BCNM có \(\left\{ \begin{array}{l}
MB//CN\\
MB = CN
\end{array} \right.\) nên BCNM là hình bình hành.

Mặt khác, \(AB = 2AD \Leftrightarrow 2MB = 2AD = 2BC \Rightarrow MB = BC\)

Do đó, BCNM là hình thoi.

b,

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
AB//CD\\
AB = CD
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
MB//DN\\
2MB = 2DN
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
MB//DN\\
MB = DN
\end{array} \right.\)

Tứ giác BNDM có \(\left\{ \begin{array}{l}
MB//DN\\
MB = DN
\end{array} \right.\) nên BMDN là hình bình hành.

c,

Chứng minh tương tự câu a ta cũng có AMND là hình thoi.

BCNM là hình thoi nên F là trung điểm 2 đường chéo BN và MC.

AMND là hình thoi nên E là trung điểm 2 đường chéo DM và AN.

Do đó, EF là đường trung bình trong tam giác DMC

Suy ra \(EF//DC\) hay EFCD là hình thang.

d,

AMND là hình thoi nên \(AN \bot DM \Leftrightarrow ME \bot EN \Rightarrow \widehat {MEN} = 90^\circ \)

BCNM là hình thoi nên \(BN \bot CM \Leftrightarrow MF \bot FN \Rightarrow \widehat {MFN} = 90^\circ \)

BMDN là hình bình hành nên \(BN//DM \Rightarrow BN \bot AN \Rightarrow \widehat {ENF} = 90^\circ \)

Tứ giác MENF có \(\widehat {MEN} = \widehat {MFN} = \widehat {ENF} = 90^\circ \) nên MENF là hình chữ nhật.