a, 

Có DM $\bot$ AB, AC $\bot$ AB => DM // AC       (1)

$\Delta$ ABC có BD= DA, BM= MC 

=> DM là đường trung bình 

=> DM= $\frac{1}{2}$AC 

=> 2DM= AC 

=> EM= AC    (2) 

(1)(2) => AEMC là hình bình hành 

b, 

Tứ giác ABFC có AM= MF, BM= MC (2 đường chéo cắt tại trung điểm mỗi đường) nên là hình bình hành 

Hình bình hành ABFC có 1 góc vuông $\widehat{BAC}= 90^o$ nên là hình chữ nhật 

c, 

$\Delta$ BAC vuông tại A có AM trung tuyến 

=> AM= $\frac{1}{2}$BC 

=> AM= BM 

Tứ giác EBMA có BD= DA, ED= DM (2 đường chéo cắt tại trung điểm mỗi đường) nên là hình bình hành  

Hình bình hành EBMA có 2 cạnh kề bằng nhau BM= AM nên là hình thoi 

=> AB $\bot$ EM 

d,

AC= $\sqrt{BC^2-AB^2}$= 8 

$S_{ABC}= 0,5.AC.AB= 24 (cm^2)$