Gọi $n(S_i)$ là số các số hạng của $S_i$. Ví dụ:  $$n(S_1) = 2, n(S_2) = 3, n(S_3) = 4$$

Khi đó, số số hạng từ $S_1$ đến $S_99$ là:

$$n(S_1) + n(S_2) + \cdots + n(S_99) = 2 + 3 + \cdots + 99$$

Xét tổng: $$S = 2 + 3 + \cdots + 99$$

Lấy số đầu cộng số cuối ta được 101. Vậy cứ lấy 2+99, 3 + 98,...  ta đều được 101. Hơn nữa, tổng này có 98 số hạng. Do đó:  $$S = 101.\dfrac{98}{2} = 4949$$

Vậy số hạng cuối cùng của $S_{99}$ là 4949.

Do đó, số hạng bắt đầu của $S_{100}$ là 4950. Mà $n(S_i) = i+1$, do đó $n(S_{100}) = 101$.

Nên: $$S_{100} = 4950 + 4951 + \cdots + 5050$$

CMTT, ta có:

$$S_{100} = 505000$$

Vậy $$S_{100} = 505000$$

Số số hạng của: $S_{1}$ là: $1+1$

$S_{2}$ là: $2+1$

$S_{3}$ là: $3+1$

⇒ $S_{n}$ là: $n+1$

⇒ $S_{100}$ là: $100+1=101$

$S_{99}$ là: $100$

Tổng số hạng của từ $S_{1}$ tới $S_{99}$ là: $2+3+...+100$

=$(100+2).(100-2+1):2$

=$5049$

⇒ Số hạng thứ $100$ của $S_{99}$ là số hạng thứ $5049$ của daỹ $1;2;3;....$

là: $1+1.(5049-1)=5049$

⇒ Số hạng đầu tiên của $S_{100}$ là: $5049+1=5050$

Số hạng thứ $101$ của $S_{100}$ là: $5050+1.(101-1)=5150$

⇒ $S_{100}=5050+5051+...+5150$

$=(5150+5050).101:2=515100$