Đáp án+Giải thích các bước giải:

a) Chứng minh rằng: `DE // AB` và tứ giác `ADEF` là hình chữ nhật.

Xét `\triangleABC` có:

`D,E` lần lượt là trung điểm của `AC,BC`

`=>DE` là đường trung bình của `\triangleABC`

`=>DE////AB` `(`tính chất đường trung bình trong tam giác`)`

Mà `AB\botAC` `(\triangleABC` vuông tại `A)` nên:

`=>DE\botAC` `(`từ vuông góc đến song song`)`

`=>\hat{ADE}=90^0`

`EF\botAB` $\text{(gt)}$ nên:

`=>\hat{AFE}=90^0`

Xét tứ giác `ADEF` có:

`\hat{BAC}=\hat{AFE}=\hat{ADE}=90^0` `(cmt)`

`=>ADEF` là hình chữ nhật `(`dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật`)`

Vậy `DE////AB` và `ADEF` là hình chữ nhật `(đpcm)`

b) Chứng minh tứ giác AECK là hình thoi.

`DK=DE` $\text{(gt)}$ nên:

`=>D` là trung điểm của `EK`

Xét tứ giác `AECK` có:

`D` là trung điểm của `EK` `(cmt)`

`D` là trung điểm của `AC` $\text{(gt)}$

`AC,EK` cắt nhau tại `D`

`=>AECK` là hình bình hành `(`dấu hiệu nhận biết hình bình hành`)` `(1)`

`\triangleABC` vuông tại `A` có `AE` là trung tuyến:

`=>AE=CE=(BC)/2` `(`tính chất trung tuyến trong tam giác vuông`)` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` ta suy được: `AECK` là hình thoi 

Vậy `AECK` là hình thoi `(đpcm)`

c) Chứng minh rằng `O` là trung điểm của `AE` và ba điểm `B,O,K` thằng hàng.

`ADEF` là hình chữ nhật `(`câu `a)` nên:

`=>O` là trung điểm của `AE,DF` `(`tính chất hình chữ nhật`)`

`AECK` là hình thoi `(cmt)` nên:

`=>AK=CE` và `AK////CE` `(`tính chất hình thoi`)`

Mà `CE=BE` `(E` là trung điểm của `BC)`

`=>AK=BE` và `AK////BE`

`=>ABEK` là hình bình hành `(`dấu hiệu nhận biết hình bình hành`)`

`=>O` là trung điểm của `BK` `(`tính chất hình bình hành`)`

`=>O\inBK`

`=>`Ba điểm `B,O,K` thẳng hàng

Vậy `O` là trung điểm của `AE` và ba điểm `B,O,K` thẳng hàng `(đpcm)`

d)  Tính số đo góc `DMF`.

`\triangleAME` vuông tại `M` có `MO` là trung tuyến:

`=>MO=OE=OA=(AE)/2` `(`tính chất trung tuyến trong tam giác vuông`)`

Mà `AE=DF` `(ADEF` là hình chữ nhật`)` nên:

`=>MO=OD=OF=(DF)/2`

`\triangleDMF` có `MO` là trung tuyến mà `MO=OD=OF=(DF)/2` `(cmt)` nên:

`=>\triangleDMF` vuông tại `M`

`=>\hat{DMF}=90^0`

Vậy `\hat{DMF}=90^0`