Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a) Xét tứ giác AHBC có F là trung điểm của AB và CH nên tứ giác AHBC là hbh (tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Suy ra AH//BC hay AI//BD.

Mà De là đường trung bình của tam giác ACB nên DE//AB hay DI//AB

Tứ giác ABDI có AI//BD, AB//DI nên là hình bình hành.

b) Tứ giác AHBC là hbh (cmt) nên góc AHB=góc ACB (hai góc đối)

Tứ giác ABDI là hbh nên góc ABC=góc AID (hai góc đối)

Mà góc ABC=góc ACB nên góc AHB=góc AID.

Mà BD//HI nên BDIH là hình thang cân.

c) Gọi K là giao điểm của DE và CH.

Tam giác AFC có E là trung điểm AC, EK//AF nên EK là đường trung bình của tam giác suy ra K là trung điểm của FC hay \(FK = \frac{1}{2}FC = \frac{1}{2}HF\)

\( \Rightarrow HF = \frac{2}{3}HK\).

Lại có \(EK// = \frac{1}{2}AF\) và tương tự \(DK// = \frac{1}{2}BF\), mà \(BF = AF\) nên EK=KD hay \(K\) là trung điểm của DE nên HK là đường trung tuyến của tam giác HDE.

Vậy \(F\) là trọng tâm tam giác.