Giải thích các bước giải:

a.Ta có $ME\perp AB, MF\perp AC, AB\perp AC$

$\to AEMF$ là hình chữ nhật

b.Ta có $ME\perp AB, AB\perp AC\to ME//AC$

Mà $M$ là trung điểm $BC$

$\to E$ là trung điểm $AB$

$\to MD\cap AB=E$ là trung điểm mỗi đường

$\to AMBD$ là hình bình hành

Mà $ME\perp AB\to MD\perp AB$

$\to AMBD$ là hình thoi

c.Ta có $MF\perp AC, AB\perp AC\to MF//AB$

Mà $M$ là trung điểm $BC\to F$ là trung điểm $AC$

Lại có $E$ là trung điểm $AB\to EF$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\to EF//BC\to EF//HM$

Ta có $\Delta AHB$ vuông tại $H, E$ là trung điểm $AB\to EH=EB=EA=\dfrac12AB$

$\to\Delta EBH$ cân tại $E$

$\to\widehat{HEF}=\widehat{EHB}=\widehat{EBH}=\widehat{ABC}=\widehat{FMC}=\widehat{MFE}$

$\to EFMH$ là hình thang cân

d.Ta có $E, F$ là trung điểm $AB,AC$

$\to \dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\dfrac{\dfrac12AE\cdot AF}{\dfrac12AB\cdot AC}=\dfrac{AE\cdot AF}{AB\cdot AC}=\dfrac{\dfrac12AB\cdot\dfrac12AC}{AB\cdot AC}=\dfrac14$

e.Sửa đề: tam giác $ABC$ có thêm điều kiện gì để $HI\perp AC$

Ta có $AEMF$ là hình chữ nhật, $AM\cap EF=I$

$\to I$ là trung điểm $AM, EF$ và $IA=IM=IE=IF$

Do $IA=IF\to I\in$ trung trực $AF$

Để $HI\perp AC\to HI\perp AF$

$\to HI$ là trung trực $AF$

$\to HA=HF$

Ta có $\Delta AHC$ vuông tại $H, F$ là trung điểm $AC\to FA=FH=FC=\dfrac12AC$

$\to AH=HF=AF\to\Delta AHF$ đều

$\to \hat C=90^o-\widehat{HAC}=90^o-\widehat{HAF}=90^o-60^o=30^o$

Vậy $\Delta ABC$ cần thêm điều kiện $\hat C=30^o$