Giải thích các bước giải:

a.Ta có $\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\to BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=10$

Mà $AH\perp BC$

$\to S_{ABC}=\dfrac12AH\cdot BC=\dfrac12AB\cdot AC$

$\to AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=4.8$

Ta có $HD\perp AB, HE\perp AC, AB\perp AC$

$\to ADHE$ là hình chữ nhật

$\to DE=AH=4.8$

b.Ta có $\Delta DBH$ vuông tại $D, M$ là trung điểm $BH$

$\to MD=MB=MH=\dfrac12BH$

$\to\Delta MDH$ cân tại $M$

$\to\widehat{MDH}=\widehat{MHD}=\widehat{BHD}=90^o-\widehat{DHA}=\widehat{DAH}=\widehat{ADE}$ vì $ADHE$ là hình chữ nhật

$\to \widehat{MDE}=\widehat{MDH}+\widehat{HDE}=\widehat{ADE}+\widehat{HDE}=\widehat{ADH}=90^o$

$\to MD\perp DE$

Tương tự chứng minh được $NE\perp DE$

$\to DMNE$ là hình thang vuông

c.Ta có $H, K$ đối xứng qua $AB$

$\to\widehat{KAB}=\widehat{HAB}$

$\to\widehat{KAH}=2\widehat{BAH}$

Tương tự chứng minh được $\widehat{HAI}=2\widehat{HAC}$

$\to\widehat{KAI}=\widehat{KAH}+\widehat{HAI}=2\widehat{BAH}+2\widehat{HAC}=2\widehat{BAC}=180^o$

$\to K, A, I$ thẳng hàng

d.Để $ADHE$ là hình vuông

$\to AH$ là phân giác $\widehat{DAE}$ vì $ADHE$ là hình chữ nhật

$\to AH$ là phân giác $\widehat{BAC}$
Mà $AH\perp BC\to\Delta ABC$ vuông cân tại $A$