Giải thích các bước giải:

a.Ta có : $AD\perp BC, AH\perp BI\to \widehat{AHB}=\widehat{ADB}(=90^o)$ 
$\to ABDH$ nội tiếp

Mà $\widehat{AHB}=90^o\to $Tâm đường tròn ngoại tiếp $ADBH$ là trung điểm AB

b.Ta có $\widehat{BAD}=\widehat{ACB}(+\widehat{ABC}=90^o)$

$\to \widehat{BHD}=\widehat{BAD}=\widehat{BCA}$

$\to\Delta BDH\sim\Delta BIC(g.g)$

c.Từ câu b 

$\dfrac{HD}{CI}=\dfrac{BH}{BC}\to HD=\dfrac{CI.BH}{BC}=\dfrac{\dfrac12AC.BH}{BC}=\dfrac{AC}{2BC}.BH$

$\to AB.HD=\dfrac{AB.AC}{2BC}.BH=\dfrac{AD.BC}{2BC}.BH=\dfrac12AD.BH (AB.AC=AD.BC=2S_{ABC})$

Lại có :
$IA=IC\to S_{BAI}=\dfrac12S_{ABC}$

$\to \dfrac12AH.BI=\dfrac12.\dfrac12 AD.BC$

$\to AH.BI=\dfrac12AD.BC\to AH=\dfrac12AD.\dfrac{BC}{BI}$

$\to AH.BD=\dfrac12AD.\dfrac{BD.BC}{BI}$

Lại có : $AB\perp AI, AH\perp BI, AB\perp AC, AD\perp BC$
$\to BA^2=BH.BI=BD.BC\to \dfrac{BD.BC}{BI}=BH$

$\to AH.BC=\dfrac12AD.BH$

$\to AB.HD=AH.BD=\dfrac12AD.BH$