`a)`

Xét `ΔABM` và `ΔMCE` có: 

`∠ABM = ∠MCE`  `(slt)`

`BM=MC`

`∠AMB= ∠EMC`  `(dđ)`

`=> ΔABM =ΔMCE`  `(gcg)`

`=> AM=ME`

Xét tứ giác `ABEC` co : 

`M` là trung điểm `BC `

`M` là trung điểm `AE`

`=> AMEC` là hình bình hành (đpcm)

`b)`

Ta có : `AB=DC`

`AB=CE`

`=> DC=CE`

 `C` là trung điểm của `DE`  `(đpcm)`

`c)`

Xét `2` `ΔBCD` và `ΔICE có

`C=90^o`

`DC=CE`  (cmt)

`∠BDC = ∠IEC`  `(slt)`

`=> ΔBCD=ΔICE`  `(gcg)`

`=> BC=CI`

Xét tứ giác `BEID` co : 

`C` là trung điểm `BI`  `(BC=IC)`

`C` là trung điểm `DE`  `(DC=EC)`

`=> BEID` là HBH

Ma `C=90^o`

`=> BEID` là hình thoi (đpcm)

`d)`

Xét `ΔDEI` có : 

`DC=CE`

`IK=KE`

`=>CK` là tdb 

`=> CK=1/2DI`

`CK//DI`  `(1)`

Xét `ΔBDE` có : 

`DO=OB`

`DC=CE`

`=> CO` là tdb

`=> CO=1/2BE`

`CO//BE`  `(2)`

Từ `(1),(2) =>OC=CK` 

Vậy `C` là trung điểm của `OK`

Lời giải:

a) Ta có: $AB//CE\quad (AB//CD;\ E\in CD)$

Áp dụng định lý $Thales$ ta được:

$\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{AM}{ME}  =\dfrac{BM}{MC} = 1$

$\Rightarrow AM = ME = \dfrac12AE$

Xét tứ giác $ABEC$ có:

$AM = ME = \dfrac12AE$

$BM =MC = \dfrac12BC$

Do đó $ABEC$ là hình bình hành

b) Ta có: $ABEC$ là hình bình hành (câu a)

$\Rightarrow AB = CE$

Ta lại có: $AB = CD$

$\Rightarrow CD = CE = \dfrac12DE$

$\Rightarrow C$ là trung điểm $DE$

c) Ta có: $DI//BE$

Áp dụng định lý $Thales$ ta được:

$\dfrac{BE}{DI} = \dfrac{BM}{MI} = \dfrac{DC}{CE} = 1$

$\Rightarrow BM = MI = \dfrac12BI$

Xét tứ giác $BEID$ có:

$BM = MI = \dfrac12BI$

$DC = CE = \dfrac12DE$

$\Rightarrow BEID$ là hình bình hành

Lại có: $BI\perp CE\quad (BC\perp CD)$

Do đó $BEID$ là hình thoi

d) Ta có: $OC = OB = OD = \dfrac12BD$

$KC = KI = KE = \dfrac12IE$

mà $BD = IE\quad (BEID$ là hình thoi$)$

nên $\begin{cases}OC = KC\qquad (1)\\OB = IK\end{cases}$

Xét $\triangle OBC$ và $\triangle KIC$ có:

$\begin{cases}OB = IK\\BC = CI\\OC = KC\end{cases}$

Do đó $\triangle OBC = \triangle KIC \ (c.c.c)$

$\Rightarrow \widehat{BCO} = \widehat{ICK}$ (hai góc tương ứng)

mà $B,C,I$ thẳng hàng

nên $O,C,K$ thẳng hàng $\quad (2)$

Từ $(1)(2)\Rightarrow OC = KC = \dfrac12OK$

hay $C$ là trung điểm $OK$