Giải thích các bước giải:

1.Vì MA,MB là tiếp tuyến của (O)
$\to MA\perp OA,MB\perp OB\to MAOB$ nội tiếp đường tròn đường kính OM

2.Vì BE là đường kính của (O)$\to AE\perp AB$ 

Lại có : $MA,MB$ là tiếp tuyến của (O)$\to MO\perp AB\to AE//MO$

3.Ta có :$MO//AE\to\widehat{NMF}=\widehat{FEA}$

Mà $MA $ là tiếp tuyến của (O)
$\to\widehat{MAF}=\widehat{MEA}\to \widehat{NMF}=\widehat{MAN}$
$\to\Delta MNF\sim\Delta ANM(g.g)$

$\to\dfrac{MN}{AN}=\dfrac{NF}{NM}\to MN^2=NF.NA$

4.Ta có :

$MB\perp BE, BF\perp ME\to \widehat{EBF}=\widehat{BME}(+\widehat{MEB}=90^o)$

Vì $BF\perp ME$ (BE là đường kính của (O)), $MO\perp AB\to \widehat{MFB}=\widehat{MHB}=90^o$
$\to MFHB$ nọi tiếp

$\to \widehat{FHA}=\widehat{FMB}\to\widehat{FHA}=\widehat{FBE}$

Mà $\widehat{FEB}=\widehat{FAH}\to\Delta FAH\sim\Delta FEB(g.g)$
$\to\widehat{AFH}=\widehat{EFB}=90^o\to FH\perp AN$

Lại có : $MH\perp BA\to NH\perp AH\to NH^2=NF.NA$
$\to NH^2=NM^2\to MN=NH$