Giải thích các bước giải:

a.Ta có $D, H$ đối xứng qua $I\to I$ là trung điểm $DH$

               $I$ là trung điểm $AC$

$\to AHCD$ là hình bình hành

Mà $\Delta ABC$ cân tại $A, H$ là trung điểm $BC\to AH\perp BC$

$\to AHCD$ là hình chữ nhật

b.Từ câu a $\to AD//CH, AD=CH$

Mà $H$ là trung điểm $BC$

$\to AD//BH, AD=BH$

$\to ADHB$ là hình bình hành

c. Ta có $\Delta AHB$ vuông tại $H, E$ là trung điểm $AB$

$\to EH=EA=EB=\dfrac12AB$

Tương tự $IH=IA=IC=\dfrac12AC$

Lại có $AB=AC\to EH=EA=AI=IH$

$\to AEHI$ là hình thoi

$\to A, H$ đối xứng qua $EI$

d.Ta có $AEHI$ là hình thoi $\to AH\cap EI$ tại trung điểm mỗi đường

               $ADHB$ là hình bình hành $\to AH\cap BD$ tại trung điểm mỗi đường

$\to AH, EI, BD$ đồng quy tại trung điểm mỗi đường

Gọi $AH\cap EI=O\to O$ là trung điểm $AH, EI, BD$

Ta có $O, I$ là trung điểm $AH, HD$ và $DO\cap AI=F$

$\to F$ là trọng tâm $\Delta HAD$

$\to AF=\dfrac23AI=\dfrac13\cdot 2AI=\dfrac13AC$