$\\$

`a,`

$IM//AC$ hay $IM//AN$

$IN//AB$ hay $IN//AM$

Tứ giác `AMIN` có :

$IM//AN, IN//AM$

`-> AMIN` là hình bình hành

`b,`

`AI\bot MN`

`->` Hình bình hành `AMIN` là hình thoi

`->AI` là đường phân giác

`-> I` là giao của phân giác `hat{BAC}` với `BC`

Vậy `I` là giao của phân giác `hat{BAC}` với `BC` để `AI\bot MN``

`c,`

`\triangle ABC` có :

$MN//BC$

`->MN` là đường trung bình 

`->M,N` là trung điểm của `AB,AC`

`\triangle ABC` có :

$N$ là trung điểm của `AC`$, NI//AB$

`->I` là trung điểm của `BC`

Vậy `I` là trung điểm của `BC` để $MN//BC$

`d,`

Từ `A` kẻ `AD\bot BC`

Gọi `O` là giao của `MN, AI`

Từ `I` kẻ $OU\bot BC$

`AMIN` là hình bình hành mà `MN∩AI=O`

`->O` là trung điểm của `MN,AI`

$MH\bot BC, NK\bot BC, OU\bot BC$

`->` $MH//NK//OU$

Tứ giác `MNKH` có : $MH//NK$

`->MNKH` là hình thang

Hình thang `MNKH` có :

$O$ là trung điểm của `MN` và $OU// MH//NK$

`-> U` là trung điểm của `HK`

Hình thang `MNKH` có :

`O,U` là trung điểm của `MN, HK`

`->OU` là đường trung bình

`-> OU=(MH+NK)/2`

`-> MH+NK=2OU(1)`

$AD\bot BC, OU\bot BC$

`->` $AD//OU$

`\triangle ADI` có :

$OU//AD$ và `O` là trung điểm của `AI`

`->U` là trung điểm của `DI`

`\triangle ADI` có :

`O,U` là trung điểm của `AI, DI`

`-> OU` là đường trung bình

`->OU=1/2 AD`

`-> AD=2OU(2)`

`(1)(2)-> MH+NK=AD`

Do `AD` luôn cố định hay luôn không đổi

`->MH+NK` luôn không đổi