Đáp án+Giải thích các bước giải:

`a)`

ÁP dụng định lý Pytago vapf `\triangle ABC` vuông tại `A` có:

`BC^2=AB^2+AC^2`

`13^2=12^2+AC^2`

`169=144+AC^2`

`25=AC^2`

`AC=5 (cm)`

Vậy `AC=5cm`

Xét `\triangle ABC` có:

`M` là trung điểm của `BC`

`N` là trung điểm của `AB`

`-> MN` là đường trung bình của `\triangle ABC`

`-> MN`//`AC`

`-> MN=1/2 AC`

`-> MN=1/2 . 5`

`-> MN=2,5 (cm)`

`b)`

 `MN`//`AC`

`AB \bot AC`

`-> MN \bot AB`

`-> \hat{MNA}=90^o`

Chứng minh tương tự, `\hat{MDA}=90^o`

Xét tứ giác `ANMD` có:

`\hat{MNA}=\hat{MDA}=\hat{NAD}=90^o`

`-> ANMD` là hình chữ nhật

`c)`

Xét tứ giác `AMCE` có:

`D` là trung điểm của đường chéo `ME, AC`

`-> AMCE` là hình bình hành

Mà `AC \bot ME`

`-> AMCE` là hình thoi

`d)`

Gọi `AM \nn BE={K}`

`AMCE` là hình thoi

`-> AE`//`=CM`

Hay `AE`//`=BM`

`-> AEMB` là hình bình hành

`-> K` là trung điểm của `AM`

`-> KA=KM`

Mà `OA=OM` (t/c Hình chữ nhật)

`-> K \equiv O`

`-> B,O,E` thẳng hàng

a ΔABC vuông tại A

⇒AC²=BC²-AB²

         =13²-12²

         =169-144=25

⇒AC=√25=5

 Ta có M,N lần lượt là trung điểm của BC,AB

⇒MN là đường trung bình của ΔABC

⇒MN=$\frac{1}{2}$AC

⇔MN=$\frac{1}{2}$5=2,5

b Ta có MN là đường trung bình của ΔABC

$\left.\begin{matrix}⇒MN//AC\\lại cóAB⊥AC\end{matrix}\right\}$⇒MN⊥AC⇒$\widehat{AMN}$=$180^o$(1)

Lại có DM là đường trung bình của ΔABC

$\left.\begin{matrix} ⇒DM//AB\\lại có AB⊥AC \end{matrix}\right\}$⇒DM⊥AC⇒$\widehat{ADM}$=$180^o$(2)

       Mà $\widehat{DAN}$=$180^o$(3)

Từ (1)(2)(3)⇒ANMD là hình chữ nhật

c   Ta có $\left.\begin{matrix} AD=DC\\DM=DE\\ AC⊥ME \end{matrix}\right\}$⇒AMCE là hình thoi

d Gọi O' là giao điểm của BE với AM(4)

AMCE là hình thoi ⇒AE//CM

$\left.\begin{matrix} hay AE//BC\\AB//ME \end{matrix}\right\}$⇒AEMB là hình thoi

AEMB là hình thoi .Lại có O' là giao điểm của BE và AM

⇒O'A=O'M

Hình chữ nhật ANMD có O' là trung điểm của AM

$\left.\begin{matrix} ⇒ O' là giao điểm của AM và ND\\Lại có O là giao điểm của AM và ND\\  \end{matrix}\right\}$⇒O'≡O(5)

Từ (4) và (5) ⇒ B,O,E thẳng hàng