a)

Vì AM là trung tuyến⇒ M là trung điểm BC

Xét ΔABC có

+ I là trung điểm AC

+ M là trung điểm BC

⇒ MI là đường trung bình ΔABC

⇒ $\left \{ {{MI//AB} \atop {MI=AB:2}} \right.$ 

⇒ AKMI là hình bình hành

Vì AM là trung tuyến⇒ AM là tia phân giác $\widehat{BAC}$

⇒ AKMI là hình thoi

b) 

Vì N là điểm đối xứng của M qua I ⇒ I là trung điểm MN

Xét tứ giác AMCN có

+ I là trung điểm MN

+ I là trung điểm AC

⇒ AMCN là hình bình hành

Lại có AM là trung tuyến⇒ AM là đường cao⇒ $\widehat{M}$=$90^\circ$

⇒ AMCN là hình chữ nhật

Xét ΔABC có

+ I là trung điểm AC

+ K là trung điểm AB

⇒ IK là đường trung bình ΔABC

⇒ $\left \{ {{IK//CM} \atop {KI=CM:2}} \right.$ 

⇒ MKIC là hình bình hành

c) 

Vì AMCN là hình bình hành⇒ AN=CM

Lại có MB=MC⇒ MB=AN

⇔ MB=AN

⇒ ANMB là hình bình hành

Có E là trung điểm AM

Mà AM là đường chéo⇒ E là trung điểm BN

d) 

Vì M là trung điểm BC⇒ MB=MC=8:2=4cm

Vì AMCN là hình chữ nhật

⇒ $S_{AMCN}$ =AM.MC=11.4=44cm²

e) 

Giả sử AMCN là hình vuông

⇒ $\widehat{MAC}$=$45^\circ$

⇔ $\widehat{MAB}$=$45^\circ$

⇒ $\widehat{BAC}$=$90^\circ$

⇒ ΔABC vuông tại A

Có AC=AB⇒ ΔABC vuông cân tại A

Vậy để AMCN là hình vuông thì ABC là Δ vuông cân tại A