a) Xét tam giác ABN và tam giác ABC có chung chiều cao hạ từ B xuống AC, đáy AN $=\frac{1}{2}$ AC nên $\frac{S_{ABN}}{S_{ABC}}=\frac{1}{2}$  

Xét tam giác ABM và tam giác ABC có chung chiều cao hạ từ A xuống BC, đáy BM $=\frac{1}{2}$ BC nên $\frac{S_{ABM}}{S_{ABC}}=\frac{1}{2}$  

Vậy $S_{ABN}=S_{ABM}$ (vì cùng $=\frac{1}{2}\times S_{ABC}$)

b)

Xét tam giác AON và tam giác AOC có chung chiều cao hạ từ O xuống AC, đáy AN $=\frac{1}{2}$ AC nên $\frac{S_{AON}}{S_{AOC}}=\frac{1}{2}$  

Xét tam giác ABO và tam giác AOC có chiều cao hạ từ B xuống AO bằng chiều cao hạ từ C xuống AO, chung đáy AO nên $S_{ABO}=S_{ACO}$ 

Như vậy $\frac{S_{AON}}{S_{ABO}}=\frac{1}{2}$  

Xét tam giác AON và tam giác ABO có chung chiều cao hạ từ A xuống BN, $\frac{S_{AON}}{S_{AOB}}=\frac{1}{2}$ nên $\frac{ON}{BO}=\frac{1}{2}$ 

Độ dài đoạn BO là:

    $1\times2=2 $(cm)

          Đáp số: a) Bằng nhau , b) $2$ cm