a) Ta có M, N là trung điểm BC, AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó MN//AB.

CMTT ta có ME//AC.

Vậy tứ giác MNAE là hình bình hành.

Lại có $\widehat{BAC}$ vuông nên MNAE là hình chữ nhật.

b) Ta có N, E là trung điểm AC, AB nên NE là đường trung bình của tam giác ABC, do dó NE//BC hay NE//MH. Vậy tứ giác MNEH là hình thang.

Xét tam giác AHC vuông tại H có HN là trung tuyến, do đó HN = NA.

Do tứ giác ANME là hình chữ nhật nên NA = ME.

Trong hình thang MNEH có hai đường chéo ME = HN (= NA). Do đó MNEH là hình thang cân.

c) Do NH = NA nên tam giác NAH cân tại N, do đó $\widehat{NHA} = \widehat{NAH}$

Xét tam giác vuông AHB có HE là đường trung tuyến, do đó EA = EH. Vậy tam giác AEH cân tại E nên $\widehat{EAH} = \widehat{EHA}$

Ta có

$\widehat{EHN} = \widehat{EHA} + \widehat{NHA}$

$ = \widehat{EAH} + \widehat{NAH}$

$= \widehat{NAB} = 90^{\circ}$

Vậy $\widehat{EHN} = 90^{\circ}$

d) Để tứ giác AKBM là hình vuông thì $\widehat{AMB} = 90^{\circ}$. Do đó AM là đường cao đồng thời là trung tuyến.

Vậy tam giác ABC vuông cân tại A.

Khi đó $M \equiv H$. Do đó tứ giác EHMN là một tam giác.

Lại có ME = MN. Do đó tam giác EMN là tam giác cân.