a) $\triangle ABC$ cân tại $A$ có:

$AM$ là trung tuyến

$\Rightarrow AM$ là đường cao

$\Rightarrow AM\perp BC$

$\Rightarrow \triangle AMB,\triangle AMC$ vuông tại $M$

Xét $\triangle AMB$ vuông tại $M$ có:

$K$ là trung điểm cạnh huyền $AB$

$\Rightarrow KA = KM = KB = \dfrac12AB\qquad (1)$

Xét $\triangle AMC$ vuông tại $M$ có:

$I$ là trung điểm cạnh huyền $AC$

$\Rightarrow IA = IM = IC= \dfrac12AC\qquad (2)$

Bên cạnh đó: $AB = AC\qquad (3)$

Từ $(1)(2)(3)\Rightarrow KA = KM = IA = IM$

$\Rightarrow AKMI$ là hình thoi

b) Xét tứ giác $AMCN$ có:

$AI = IC =\dfrac12AC$

$MI = IN =\dfrac12MN$

$\Rightarrow AMCN$ là hình bình hành

Lại có: $\widehat{M} = 90^\circ\quad (AM\perp BC)$

Do đó $AMCN$ là hình chữ nhật

Xét $\triangle ABC$ có:

$AK = KN = \dfrac12AB$

$BM = MC =\dfrac12BC$

$\Rightarrow KM$ là đường trung bình

$\Rightarrow KM //AC$

$\Rightarrow KM//IC$

Lại có: $KM = IC$ (câu a)

Do đó $KMCI$ là hình bình hành

c) Ta có:

$AMCN$ là hình chữ nhật (câu b)

$\Rightarrow AN//CM;\ AN = CM$

$\Rightarrow AN//BM;\ AN= BM$

$\Rightarrow ABMN$ là hình bình hành

$\Rightarrow AM,BN$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Lại có: $E$ là trung điểm $AM$

$\Rightarrow E$ là trung điểm $BN$

d) $AMCN$ là hình vuông

$\Leftrightarrow AC\perp MN$

$\Leftrightarrow MI\perp AC$

mà $IA = IC = IM = \dfrac12AC$

nên $\triangle AMC$ vuông cân tại $M$

$\Leftrightarrow AM = MC$

$\Leftrightarrow AM = MC = MB = \dfrac12BC$

$\Leftrightarrow \triangle ABC$ vuông tại $A$

$\Leftrightarrow \triangle ABC$ vuông cân tại $A$