a) Gọi M là trung điểm AB. Ta cminh DM là đường phân giác $\widehat{ADC}$

Thật vậy, do M là trung điểm AB nên $AM =MB = \dfrac{1}{2} AB = a$.

Lại có AD = a nên tam giác AMD cân tại A. Vậy $\widehat{ADM} = \widehat{AMD}$.

Mặt khác, do AB//CD nên $\widehat{AMD} = \widehat{CDM}$

Vậy $\widehat{ADM} = \widehat{CDM}$ (= $\widehat{AMD}$)

Vậy DM là phân giác $\widehat{ADC}$.

b) Kẻ MN//AD, khi đó N là trung điểm CD, MN = a, và tứ giác AMND là hình bình hành.

GỌi AC giao MN tại E.

Xét tam giác ADN có AD = DN và $\widehat{NDA} = 60^{\circ}$ (do kề bù với $\widehat{DAB}$)

Vậy tam giác ADN đều và NA = AD = a.

CMTT ta cũng có tam giác MCB đều và CM = MB = a.

Lại có $CN = MA = \dfrac{1}{2} CD = \dfrac{1}{2} AB = a$. Vậy tứ giác AMCN là hình thoi, suy ra $AC \perp MN$

Lại có MN//AD nên $AC\perp AD$.