Đáp án:

$\text{Hàm số đồng biến trên }\left( {\pi ;\,\,2\pi } \right)\text{ và nghịch biến trên }\left( {0;\,\,\pi } \right)$

Lời giải:

\(\begin{array}{l} y = \cos 2x + 4\cos x\\ x \in \left[ {0;\,\,2\pi } \right]\\ \Rightarrow y' = - 2\sin 2x - 4\sin x\\ \Rightarrow y' = 0\\ \Leftrightarrow - 2\sin 2x - 4\sin x = 0\\ \Leftrightarrow - 4\sin x\cos x - 4\sin x = 0\\ \Leftrightarrow - 4\sin x\left( {\cos x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = 0\\ \cos x = - 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\pi \\ x = \pi + m2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x = k\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right).\\ \text{Lại có: }\,\,\,x \in \left[ {0;\,\,2\pi } \right]\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pi \\ x = 2\pi \end{array} \right.\\\text{Bảng xét dấu:}\\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\pi \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2\pi \\ \Rightarrow \text{Hàm số đồng biến trên }\left( {\pi ;\,\,2\pi } \right)\text{ và nghịch biến trên }\left( {0;\,\,\pi } \right). \end{array}\)