Đề bài: Giải phương trình $\sqrt{x+\sqrt{6x-9}}+\sqrt{x-\sqrt{6x-9}}=\sqrt{6}\qquad (*)$

ĐKXĐ: $x\geq \dfrac{3}{2}$
Phương trình $(*)$

\[\Leftrightarrow x+\sqrt{6x-9}+x-\sqrt{6x-9}+2\sqrt{(x+\sqrt{6x-9})(x-\sqrt{6x-9})}=6\Leftrightarrow 2x+2\sqrt{(x-3)^2}=6\Leftrightarrow 2x+2|x-3|=6\Leftrightarrow |x-3|=3-x\Leftrightarrow x-3\leq 0\Leftrightarrow x\leq 3\]

\[⇒\frac{3}{2}\leq x\leq 3\]

 

Đáp án:`S={x|3/2<=x<=3}.`

 

Giải thích các bước giải:

`\sqrt{x+\sqrt{6x-9}}+\sqrt{x-\sqrt{6x-9}}=\sqrt{6}`

Điều kiện:`6x-9>=0`

`<=>6x>=9`

`<=>x>=3/2`.

Nhân hai vế với `\sqrt{6}` ta có phương trình:

`\sqrt{6x+6\sqrt{6x-9}}+\sqrt{6x-\sqrt{6x-9}}=6`

`<=>\sqrt{6x-9+6\sqrt{6x-9}+9}+\sqrt{6x-9-6\sqrt{6x-9}+9}=6`

`<=>\sqrt{(\sqrt{6x-9}+3)^2}+\sqrt{(\sqrt{6x-9}-3)^2}=6`

`<=>|\sqrt{6x-9}+3|+|\sqrt{6x-9}-3|=6`

Vì `\sqrt{6x-9}>=3=>\sqrt{6x-9}+3>=3>0`

`pt<=>\sqrt{6x-9}+3+|\sqrt{6x-9}-3|=6`

`<=>|\sqrt{6x-9}|=3-\sqrt{6x-9}`

`<=>|\sqrt{6x-9}|=-(\sqrt{6x-9}-3)`

Ta có tính chất:`|P|=-P<=>P<=0`

`=>|\sqrt{6x-9}|=-(\sqrt{6x-9}-3)`

`<=>\sqrt{6x-9}-3<=0`

`<=>\sqrt{6x-9}<=3`

`<=>6x-9<=9`

`<=>6x<=18`

`<=>x<=3`

Kết hợp điều kiện xác định:`->3/2<=x<=3.`

Vậy bất phương trình có tập nghiệm `S={x|3/2<=x<=3}.`