Lời giải: 

a. Do MA, MB là các tiếp tuyến nên

Xét tứ giác MBOA có mà đỉnh A và đỉnh B đối nhau nên tứ giác MBOA nội tiếp.

Vậy M, B, O, A thuộc cùng đường tròn (1)

Xét đường tròn (O) có I là trung điểm của CD nên OI ⊥ CD

Suy ra:

Chứng minh tương tự trường hợp trên: Tứ giác MIOA nội tiếp

Vậy M, I, O, A thuộc cùng đường tròn (2)

Từ (1) và (2) suy ra O, A, M, B, I thuộc đường tròn.

b. Gọi giao điểm của OM với (O) là K.

Xét (O), tiếp tuyến MA, MB có MA cắt MB tại M

Suy ra: OM là phân giác của góc

Xét tam giác AOB cân tại O (OA = OB = R) có OM là phân giác của góc

⇒ OM ⊥ AB tại H

Vì OIBM là tứ giác nội tiếp (chứng minh trên)

Xét (O): = số đo cung BK (góc ở tâm chắn cung BK)

= $\frac{1}{2}$ . số đo cung AB

Số đo cung BK = $\frac{1}{2}$ . số đo cung AB

 

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị 

Suy ra: EA//CD

c. Để MA ⊥ MB

Xét đường tròn (O), tiếp tuyến MA, MB có MA cắt MB tại M

=> OM là phân giác

Xét tam giác AMO vuông tại A: 

Suy ra tam giác AMO vuông cân tại A

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có: