Lời giải:

a) Áp dụng định lý Pytago vào $\triangle ABC$ vuông tại $A$ ta được:

$\quad BC^2 = AB^2 + AC^2$

$\Rightarrow AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{26^2 - 10^2}$

$\Rightarrow AC = 24\ cm$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:

$\quad AB^2 = BH.BC$

$\Rightarrow BH = \dfrac{AB^2}{BC} = \dfrac{10^2}{26}$

$\Rightarrow BH  =\dfrac{50}{13}\ cm$

b) Ta có: $O$ là tâm đường tròn đường kính $BC$

$\Rightarrow O$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow OA = OB = OC = \dfrac12BC$

$\Rightarrow OA = R$

$\Rightarrow A\in (O)$

c) Ta có: $AM$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$

$\Rightarrow OA\perp AM$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle OAM$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:

$\quad AM^2 = MH.MO\qquad (1)$

Xét $\triangle MAB$ và $\triangle MCA$ có:

$\begin{cases}\widehat{M}:\ \text{góc chung}\\\widehat{MAB} = \widehat{MCA}\quad \text{(cùng chắn $\mathop{AB}\limits^{\displaystyle\frown}$)}\end{cases}$

Do đó $\triangle MAB\backsim \triangle MCA\ (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{MA}{MC} = \dfrac{MB}{MA}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow MA^2 = MB.MC\qquad (2)$

Từ $(1)(2)\Rightarrow MH.MO = MB.MC$

Đáp án:

 Hình `!`

Giải thích các bước giải: