a) Do D, E là trung điểm AB, AC nên DE là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó DE//BC.

Vậy tứ giác BDEC là hình thang.

Lại có $\widehat{DBC} = \widehat{ECB}$ (tam giác ABC cân)

Do đó BDEC là hình thang cân.

Do tam giác ABC cân và AF là trung tuyến nên AF cùng là đường cao.

 Vậy tam giác AFC và AFB vuông tại F.

Xét tam giác ABF vuông tại F có FD là trung tuyến nên $FD = DA = DB = \dfrac{1}{2} AB$.

CMTT ta có $FE = EA = EC = \dfrac{1}{2} AC$.

Mà tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.

Vậy 
$AD = DB = DF = FE = EA = EC$

Xét tứ giác ADFE có $AD = DF = FE = EA$. Vậy tứ giác ADFE là hình thoi.

b) DO M dxung vs D qua E nên $DM = 2DE$.

Lại có DE là đường trung bình nên $BC = 2DE$.

Vậy $BC = DM$. Lại có DM//BC. Do đó tứ giác DMCB là hình bình hành.

Do N đxung vs F qua E nên $NE = EF$. Lại có $EF = EA = EC$. Do đó tứ giác AFCN có tâm đối xứng là E, do đó tứ giác này là hình bình hành.

Lại có $AF \perp FC$ nên tứ giác AFCN là hình chữ nhật.