a) $\Delta ABC$ có:

$F$ là trung điểm $AB$ (do $CF$ là trung tuyến)

và $E$ là trung điểm cạnh $AC$ (do $BE$ là trung tuyến)

$\Rightarrow EF$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\Rightarrow EF\parallel=\dfrac{1}{2}BC$

$\Delta GBC$ có:

$I$ là trung điểm $GB$ và

$K$ là trung điểm $GC$

$\Rightarrow IK$ là đường trung bình $\Delta GBC$

$\Rightarrow IK\parallel =\dfrac{1}{2}BC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $FE\parallel=IK(\parallel=\dfrac{1}{2}BC)$

$\Rightarrow EFIK$ là hình bình hành.

b) Để $EFIK$ là hình chữ nhật thì $\widehat{EFI}=90^o$

$\Rightarrow EF\bot FI$

$\Delta ABG$ có:

$F$ là trung điểm $AB$

$I$ là trung điểm $BG$

$\Rightarrow FI$ là đường trung bình $\Delta ABG$

$\Rightarrow FI\parallel AG$

Mà $FE\parallel BC$

$\Rightarrow$ để $EFIK$ là hình chữ nhật thì $ AG\bot BC$

$\Rightarrow AG$ phải tạo với $BC$ một góc $90^o$

$\Rightarrow \Delta ABC$ cân đỉnh $A$

c) $BE\bot CF$ $\Rightarrow EFIK$ có 2 đường chéo vuông góc với nhau

$\Rightarrow EFIK$ là hình thoi.