a, Áp dụng định lý Pytago ta có:

 NP² = MN² + MP² = 12² + 9² = 225

=> NP = 15 ( cm)

DIện tích Δ MNP là : S = \(\frac{MN . MP}{2}\) = 54 ( cm² )

                 MH = \(\frac{S . 2}{NP}\) = \(\frac{54. 2}{15}\) = 7,2 ( cm)

b, Xét ΔHME có MK vừa là đường cao vừa là trung tuyến

=> ΔHME cân

=> HM = ME (1)

Xét ΔDMH có MI vừa là đường cao vừa là trung tuyến

=> MH = MD (2)

TỪ (1) và (2 ) => MD = ME ( = MH)

=> D đối xứng với E qua M

c, Tứ giác IHKM có 3 góc vuông

=> IHKM là hình chữ nhật

=> \(\widehat{HIK}\) = \(\widehat{MHI}\)  (3)

ΔNIH vuông tại I có IA là trung tuyến

=> IA = AH

=> \(\widehat{AIH}\)  = \(\widehat{AHI}\)  (4)

Từ (3) và (4)

=> \(\widehat{AIK}\)  = \(\widehat{HIK}\) + \(\widehat{AIH}\)  = \(\widehat{MHI}\)  + \(\widehat{AHI}\)  = \(\widehat{AHM}\)  = 90 \(^{\circ}\)

=> \(\widehat{AIK}\)  = 90\(^{\circ}\) (*)

Tương tự ta chứng minh được \(\widehat{HKI}\)  = 90\(^{\circ}\)  (**)

Từ (*) và (**) => \(\widehat{AIK}\)  + \(\widehat{HKI}\)  = 180\(^{\circ}\)

mà hai góc này ở vị trí trong cùng phía

=> IA // KB