Đáp án:

Xét hiệu

$(a^3+b^3+c^3)-(a+b+c)=(a-1)a(a+1)+(b-1)b(b+1)+(c-1)c(c+1)$

\[\left\{\begin{matrix}
(a-1)a(a+1)\qquad\vdots\qquad 6 & \\ 
(b-1)b(b+1)\qquad\vdots\qquad 6  & \\ 
(c-1)c(c+1)\qquad\vdots\qquad 6  & 
\end{matrix}\right.\]

\[\to (a^3+b^3+c^3)-(a+b+c)\qquad\vdots\qquad 6  \]

mà \[a+b+c\qquad\vdots\qquad 6  \]

\[\to a^3+b^3+c^3\qquad\vdots\qquad 6  \]

 

Xét:

(a³ +b³+c³) - (a+b+c) = (a³ - a) + (b³-b)+(c³-c) = a(a² -1) + b (b² -1) + c(c²-1)

Ta có:

a ( a² - 1) = ( a-1) a ( a+1)

Ta thấy a ( a+1) là tích của 2 số nguyên liên tiếp

=> a ( a+1)\( \vdots \) 2

=> (a-1)a(a+1)\( \vdots \) 2 (1)

Lại thấy (a-1) a (a+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp

=> (a-1)a(a+1) \( \vdots \) 3 (2)

Từ (1) và (2) và (2,3) = 1

=> (a-1) a (a+1) \( \vdots \) 6

=> a ( a² -1) \( \vdots \) 6

Tương tự b ( b² - 1) \( \vdots \) 6

                c ( c² -1) \( \vdots \) 6

=> a ( a²-1) + b (b² - 1) + c( c²-1) \( \vdots \) 6

=> ( a³ +b³ + c³) - (a+b+c) \( \vdots \) 6

Mà a+b+c \( \vdots \) 6

=> a³ + b³ + c³ \( \vdots \) 6

Vậy a³ + b³ + c³ chia hết cho 6 khi a+ b+ c chia hết cho 6