Đáp án:

$a)$

$\overline{abc}-\overline{cba}=\overline{6b3}(a>c;a;c\ne 0)$

$→100a+10b+c-(100c+10b+a)=\overline{6b3}$
$→99a-99c=\overline{6b3}$

$→a-c=\dfrac{\overline{6b3}}{99}$

$→\overline{6b3}\qquad\vdots\quad 99(0≤b≤9)$
$→ b=9$
$→a-c=7$

$→(a;c)=(8;1); (9;2)$

Vậy $(a;b;c)=(8;9;1);(9;9;2)$

$b)$

Trong 2021 số đã cho có ít nhất 1 số âm

Tách riêng số âm còn 2020 số, nhóm 4 số vào 1 nhóm được 505 nhóm. Trong nhóm nào cũng là 1 số nguyên âm

$→$ Tổng 2020 số là một số âm + 1 số nguyên âm đã tách

$→$ đpcm

$c)$

Số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1; chia 4 dư 0 hoặc 1

- x; y; z chia 3 dư 0 hoặc 1

$→$ có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 3

$→(x-y)(x-z)(y-z)\qquad\vdots\qquad 3$
Tương tự $→(x-y)(x-z)(y-z)\qquad\vdots\qquad 4$

mà $(3;4)=1→(x-y)(x-z)(y-z)\qquad\vdots\qquad 12$