Gửi bạn:

$a,$ $D$ là trung điểm của $AB$

$E$ là trung điểm của $AC$

$⇒$ $DE$ là đường trung bình $ΔABC$

$⇒$ $DE//BC,DE=\dfrac{1}{2}.BC$

Mà: $F$ là trung điểm của $BC$

$⇒$ $DE//FB,DE=FB=\dfrac{1}{2}.BC$

$⇒$ $DEFB$ là hình bình hành

$2,$ Vì: $DE//BC$

$⇒DE//HF(F,H∈BC)$

$⇒$ $DEHF$ là hình thang

$DF$ là đường trung bình $ΔABC$

$⇒$ $DF=\dfrac{1}{2}.AC$

Xét $ΔAHC$ vuông tại $H$ có:

$HE$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AC$

$⇒$ $HE=\dfrac{1}{2}.AC$

$⇒$ $HE=DF$

Lại có: $HE,DF$ là hai đường chéo của hình thang $DEFH$

$⇒$ $DEFH$ là hình thang cân

$c,$ Xét tứ giác $ADFE$ có:

$AB⊥AC⇒\widehat{DAE}=90^o$

$DF⊥AB(DF//AC)⇒\widehat{FDA}=90^o$

$FE⊥AC(FE//AB)⇒\widehat{FEA}=90^o$

$⇒$ $ADFE$ là hình chữ nhật

Nếu $ADFE$ là hình vuông

$⇒$ $AD=AE$

Mà: $D$ là trung điểm của $AB$

$⇒$ $AD=\dfrac{1}{2}.AB$

$E$ là trung điểm của $AC$

$⇒$ $AE=\dfrac{1}{2}.AC$

Lại có: $AD=AE$

$⇒$ $AB=AC$

$⇒$ $ΔABC$ cân tại $A$

$\widehat{BAC}=90^o$

$⇒$ $ΔABC$ vuông cân tại $A$

$d,$ Độ dài cạnh $AC$ là:

$AC^2=BC^2-AB^2=10^2-6^2=8^2$ $(Pi-ta-go)$

$⇒AC=8(cm)$

$D$ là trung điểm của $AB$

$⇒$ $AD=\dfrac{1}{2}.6=3(cm)$

$E$ là trung điểm của $AC$

$⇒$ $AE=\dfrac{1}{2}.8=4(cm)$

$⇒$ $S_{ADFE}=AD.AE=3.4=12(cm^2)$

Vậy $S_{ADFE}=12(cm^2)$

Đáp án`+`Giải thích các bước giải:

 `a)` Xét `triangleABC` có: 

`BF=FC` ( `F` là trung điểm của `BC` )

`AE=EC` ( `E` là trung điểm của `AC` )

`=>FE` là đường trung bình của `triangleABC`

`=>` $FE//AB$

Hay $FE//DB$`(1)`

Xét `triangleABC` có: 

`DB=DB` ( `D` là trung điểm của `AB` )

`AE=EC` ( `E` là trung điểm của `AC` )

`=>DE` là đường trung bình của `triangleABC`

`=>` $DE//BC$

Hay $DE//BF$ `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` `=>DEFB` là hình bình hành

$\\$

`b)`  Xét `triangleBHA` vuông tại `H` có:

`HD` là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền `AB` ( `DB=DA` )

`=>HD=BD`

Mà `FE=BD` ( `DEFB` là hình bình hành )

`=>HD=FE`

Xét tứ giác `DEFH` có:

$HF//DE$ $(BC//DE)$

`=>DEFH` là hình thang

Lại có: `HD=FE` $(cmt)$

`=>DEFH` là hình thang cân

$\\$

`c)` Vì `triangleABC` vuông tại `A`

`=>AB⊥AC;\hat{BAC}=90^{o}` 

Mà $DF//AC;FE//AB$ $(cmt)$

`=>DF⊥AB;FE⊥AC`

`=>\hat{FDA}=90^{o};\hat{FEA}=90^{o}`

Xét tứ giác `ADFE` có:

`\hat{FDA}=\hat{BAC}=\hat{FEA}=90^{o}` 

`=>ADFE` là hình chữ nhật

Để `ADFE` là hình vuông

`<=>AD=AE`

Mà `AD=1/2AB;AE=1/2AC`

`<=>AB=AC`

`<=>triangleABC` vuông cân tại `A`

Vậy `triangleABC` vuông cân tại `A` để `ADFE` là hình vuông

$\\$

`d)` Ta có:

`AD=1/2AB=1/2 .6=3(cm)`

Xét `triangleABC` vuông tại `A` có:

`BC^2=AB^2+AC^2` `(Py-ta-go)` 

`<=>AC^2=BC^2-AB^2`

`<=>AC^2=10^2-6^2`

`<=>AC^2=100-36`

`<=>AC^2=64`

`<=>AC=8(cm)`

Lại có: `AE=1/2AC=1/2 .8=4(cm)`

Vậy `S_{ADFE}=AD.AE=3.4=12(cm^2)`