Đáp án: Không

Giải thích các bước giải:

Với n = 1 thì n! + 37 = 1! + 37 = 38 không phải là số chính phương

Với n = 2 thì n! + 37 = 2! + 37 = 39 không phải là số chính phương

Với n = 3 thì n! + 37 = 3! + 37 = 43 không phải là số chính phương

Với n ≥ 4 ta có n! chẵn ⇒ n! + 37 lẻ

Giả sử rằng n! + 37 là số chính phương lẻ, đặt n! + 37 = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 (k ∈ N)

⇔ n! + 36 = 4k² + 4k

⇔ n! + 36 = 4k(k + 1)

⇔ n!/4 + 9 = k(k + 1) (*)

Với n ≥ 4 thì n! chia hết cho 4 và n!/4 chẵn ( có chứa thừa số 2) ⇒ Vế trái của (*) = n!/4 + 9 là số lẻ còn vế phải là tích của 2 số nguyên liên tiếp k và k + 1 k(k + 1) chẵn ⇒ (*) không thể xảy ra

Vậy số n! + 37 không thể là số chính phương với mọi n ∈ N 

Đáp án: