a) Do E và D là trung điểm AB, BC nên ED là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra ED//AF và $DE = \dfrac{1}{2} AC$.

Lại có F là trung điểm AC nên $AF = FC =\dfrac{1}{2} AC$.

Xét tứ giác AEDF có AE//DF và $AE = DF = \dfrac{1}{2} AC$.

Vậy tứ giác AEDF là hình bình hành.

Lại có $\widehat{FAE} = 90^{\circ}$. Do đó tứ giác AEDF là hình chữ nhật.

b) Ta có D là trung điểm của BC nên AD là trung tuyến của tam giác ABC.

Mặt khác, do tam giác ABC vuông tại A nên $AD = DB = DC = \dfrac{1}{2} BC$.

Do D đxung với M qua AB nên $DM \perp AB$ và $DE = EM$.

Xét tam giác ADM có $AE \perp DM$ và $DE = EM$ nên AE vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến, nên tam giác ADM cân tại A.

Vậy AD = AM.

CMTT ta có DB = BM.

Xét tứ giác ADBM có $AD = DM = BM = AM$. Vậy tứ giác ADBM là hình thoi.

c) Ta có E, F là trung điểm của AB, AC nên EF là đường trung bình của tam giác ABC, do đó EF//BC.

Để tứ giác AEDF là hình vuông thì $AD \perp EF$. Lại có $EF//BC$ nên $AD \perp BC$.

Vậy AD vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến. Do đó tam giác ABC cân.

Vậy để tứ giác AEDF là hình vuông thì tam giác ABC phải vuông cân tại A.

d) Do E là trung điểm DM nên MD = 2 DE.

Lại có DE là đường trung bình nên $DE = \dfrac{1}{2} AC$ hay AC = 2 DE.

Vậy $MD = AC$ (= 2DE)

Lại có $MD//AC$ do tứ giác AEDF là hình chữ nhật.

Xét tứ giác ACDM có AC//DM và AC = DM. Vậy tứ giác ACDM là hình bình hành. Do đó AD cắt CM tại trung điểm của AD và MC. Gọi điểm đó là O.

Lại có tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD giao EF tại trung điểm mỗi đường, nên O cũng là trung điểm EF.

Ta có D và F là trung điểm của BC và CA nên DF là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra $DF//AB$ và $DF = \dfrac{1}{2} AB$.

Lại có N đxung với D qua AC nên F là trung điểm ND, vậy $DF = \dfrac{1}{2} ND$.

Do đó AB = ND $( = 2 DF)$.

Xét tứ giác ABDN có AB = ND và AB//ND. Vậy tứ giác này là hình bình hành, do đó AD cắt DN tại trung điểm mỗi đường. Lại có O là trung điểm AD nên O là trung điểm DN. 

Vậy ta có AD, MC, EF, NB đồng quy tại O là trung điểm mỗi đường.