Giải thích các bước giải:

a.Ta có $H, K$ là trung điểm $BC, AC$

$\to HK$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\to HK//AB$

$\to ABHK$ là hình thang

b.Ta có $H$ là trung điểm $BC$

              $H$ là trung điểm $AE$

$\to ABEC$ là hình bình hành

Mà $AB=AC$

$\to ABEC$ là hình thoi 

c.Xét $\Delta AKD,\Delta CKH$ có:

$\widehat{AKD}=\widehat{HKC}$

$KA=KC$
$\widehat{KAD}=\widehat{KCH}$ vì $AD//CH$

$\to\Delta KAD=\Delta KCH(g.c.g)$

$\to AD=HC$

Mà $HB=HC\to AD=HB$

d.Gọi $F$ là trung điểm $HN$

Vì $I, B$ là trung điểm $NA, BH$

$\to IF, BF$ là đường trung bình $\Delta AHN,\Delta NHM$

$\to IF//AH, FB//MN$

Ta có $AH\perp BC, IF//AH\to IF\perp BC\to IF\perp HB$

Mà $HN\perp AB\to HF\perp BI$

$\to I$ là trực tâm $\Delta BHI$

$\to BF\perp NI$

Mà $MN//BF\to MN\perp HI$