a ) Vì I đối xứng H qua M

=> M là trung điểm IH

Vì M là trung điểm AB

=> AIBH là hình bình hành

Mà AH⊥BC

=> AIBH là hình chữ nhật(dpcm)

b)  ta cos góc CAH = góc HAB

mà gócHAB = góc HEB do AHBE là hcn

góc HEB= góc EHA do EB song song với AH ( AHBE là hcn )

 tổng hợp các ý trên lại suy ra góc CAH = góc EHA 

2 góc này ở vị trí so le trong suy ra EH song song với AC 

mặt khác tứ giác EAHC còn có AE song song với HC suy ra AEHC là hình bình hành 

suy ra 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường 

suy ra N là trung điểm của EC

c) AB=8cm

Vì ΔABC cân tại A
=> AH đồng thời là đường trung tuyến của ΔABC

=> H là trung điểm của BC

=> BC=2BH

=> BH=6cm

Xét ΔBHA có: AH⊥BH nên theo Pytago:

AH=√AB2−BH2=√82−62=2√7AH=AB2−BH2=82−62=27

=> SABC=AH.BC2=2√7.122=12√7SABC=AH.BC2=27.122=127

Vì SABC=2SAHBSABC=2SAHB mà SAHBSAMH=ABAM=2SAHBSAMH=ABAM=2

=> SAMH=14SABCSAMH=14SABC=3√7

d )

Do QQ là trung điểm của CKCK và II là trung điểm của HKHK nên QIQI là đường trung tuyến của ΔCHKΔCHK

⇒QI∥CH⇒QI∥CH mà CH⊥HF⇒QI⊥HFCH⊥HF⇒QI⊥HF

Xét ΔQHFΔQHF có QIQI và HKHK là hai đường cao cắt nhau tại I⇒II⇒I là trực tâm

⇒FI⊥QH⇒FI⊥QH (đpcm).