Đáp án:

$A$ có tận cùng là $1.$

Giải thích các bước giải:

$A=1+3^1+3^2+3^3+3^4+\dots+3^{100}\\ 3A=3^1+3^2+3^3+3^4+3^5+\dots+3^{101}\\ 3A-A=(3^1+3^2+3^3+3^4+3^5+\dots+3^{101})-(1+3^1+3^2+3^3+3^4+\dots+3^{100})\\ \Leftrightarrow 2A=3^{101}-1\\ \Leftrightarrow A=\dfrac{3^{101}-1}{2}=\dfrac{3.3^{100}-1}{2}$

Các số có chữ số tận cùng là $3, 7, 9$ khi nâng lên lũy thừa bậc $4n (n \in \mathbb{N}$) thì chữ số tận cùng là $1$

$\Rightarrow 3^{100}$ có tận cùng là $1$

$\Rightarrow 3.3^{100}$ có tận cùng là $3$

$\Rightarrow 3.3^{100}-1$ có tận cùng là $2$

$\Rightarrow \dfrac{3.3^{100}-1}{2}$ có tận cùng là $1$ hoặc $6(1)$

$A=1+3^1+3^2+3^3+3^4+\dots+3^{100}$

Các số $1;3^1;3^2;3^3;3^4;\dots;3^{100}$ đều là số lẻ

$A$ là tổng của $101$ số lẻ nên $A$ là số lẻ$(2)$

$(1)(2) \Rightarrow A$ có tận cùng là $1$

Vậy $A$ có tận cùng là $1.$

Lời giải chi tiết:

Ta có`:`

`A=1+3^1+3^2+3^3+3^4+...+3^100`

`3A=3+3^2+3^3+3^4+3^5+...+3^101`

`3A-A=(3+3^2+3^3+3^4+3^5+...+3^101)-(1+3^1+3^2+3^3+3^4+...+3^100)`

`2A=3^101-1`

`A=(3^101-1)/2`

Xét `3^101-1` ta có`:`

`3^101-1`

`=3^(100).3-1`

`=(3^2)^(100).3-1`

`=9^(100).3-1`

`=(...1).3-1`

`=(...3)-1`

`=(...2)`

`=>3^101-1` có chữ số tận cùng là `2`

`=>(3^101-1)/2` có chữ tận cùng là `1` hoặc `6` `(`$*$`)`

Mặt khác`:` `A` đều có các số hạng lẻ

`=>` `A` có chữ số tận cùng là số lẻ

Kết hợp với `(`$*$`)` suy ra `A` có chữ số tận cùng là `1`

Vậy `A` có chữ số tận cùng là `1`