a) Xét $\Delta SMA$ và $\Delta SBC$ có:

$\widehat S$ chung

$\widehat{SAM}=\widehat{SCB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MB của (O))

$\Rightarrow\Delta SMA\sim\Delta SBC$ (g.g)

b) Do $CD\bot AB$ (giả thiết) $\Rightarrow AB$ là đường trung trực của $CD$ (liên hệ giữa đường kính và dây cung)

$\Rightarrow AC=AD$ (tích chất đường trung trực)

$\Rightarrow$ cung $AC=$ cung $AD$ (hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau)

$\Rightarrow\widehat{AMD}=\widehat{ABC}$ (góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau)

$\Rightarrow\widehat{KBH}=\widehat{KMH}$ mà hai góc này cùng nhìn cạnh HK

$\Rightarrow BMHK$ nội tiếp

c) Kẻ đường kính $MN$

Xét $\Delta AON$ và $\Delta BOM$ có:

$OA=OB=R$

$\widehat{AON}=\widehat{BOM}$ (đối đỉnh)

$ON=OM=R$

$\Rightarrow\Delta AON=\Delta BOM$ (c.g.c)

$\Rightarrow AN=BM$ (hai cạnh tương ứng bằng nhau)

cung $AN=$ cung $BM$ (hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau)

Ta có:

$\widehat{ASC}=\dfrac{sđ\stackrel\frown{AC}-sđ\stackrel\frown{BM}}2$ (tích chất góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn) (1)

$\widehat{NMD}=\dfrac12\stackrel\frown{DN}$ (tính chất góc nội tiếp)

$\widehat{NMD}=\dfrac{sđ\stackrel\frown{AD}-sđ\stackrel\frown{AN}}2$ (2)

Mà $\stackrel\frown{AC}=\stackrel\frown{AD}$ (3)

$\stackrel\frown{AN}=\stackrel\frown{MB}$ (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra $\widehat{ASC}=\widehat{NMD}$ hay $\widehat{OMK}=\widehat{OSM}$

Xét $\Delta OKM$ và $\Delta OMS$  có:

$\widehat{MOS}$ chung

$\widehat{OMK}=\widehat{OSM}$ (cmt)

$\Rightarrow\Delta OKM\sim\Delta OMS$ (g.g)

$\Rightarrow\dfrac{OK}{OM}=\dfrac{OM}{OS}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow OK.OS=OM^2=R^2$.