Đáp án:

\[{d_{\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)}} = \frac{{2\sqrt {57} }}{{19}}\]

Giải thích các bước giải:

 Qua O, kẻ \(OH \bot BC\,\,\,\left( {H \in BC} \right);\,\,\,\,OK \bot SH\,\,\,\,\,\left( {K \in SH} \right)\)

Theo giả thiết ta có:

\(\begin{array}{l}
\left. \begin{array}{l}
SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot BC\\
OH \bot BC
\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SOH} \right) \Rightarrow BC \bot OK\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
OK \bot SH\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array}\)

Từ (1) và (2) suy ra \(OK \bot \left( {SBC} \right)\)

Do O là giao điểm 2 đường chéo của hình thoi nên \(AC = 2OC \Rightarrow {d_{\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)}} = 2{d_{\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right)}} = 2OK\)

\(\widehat B = 60^\circ \) nên tam giác ABC là tam giác đều.

Do đó, \(BO = \frac{{\sqrt 3 }}{2}AB = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a;\,\,\,\,\,\,OC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\)

Tam giác BOC vuông tại O có đường cao OH nên:

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}a} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}} \Rightarrow OH = \frac{{\sqrt 3 a}}{4}\)

Tam giác SOH vuông tại O có đường cao OK nên:

\(\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{4}a} \right)}^2}}} \Rightarrow OK = \frac{{\sqrt {57} }}{{19}}a\)

Vậy \({d_{\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)}} = 2OK = \frac{{2\sqrt {57} }}{{19}}\)