Bổ sung đề $AB$ là đường kính của `(O;R)`

`a)` $AC;DC$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại `C` `(A;D` là hai tiếp điểm)

`=>AC=DC`

Mà `AO=CO=R`

`=>OC` là trung trực của `AD`

Vì `H` là giao điểm của `OC` và `AD`

`=>H` là trung điểm $AD$ 

$\\$

`b)` $AC;DC$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại `C` `(A;C` là hai tiếp điểm)

`=>OC` là phân giác của `\hat{AOD}`

`=>\hat{AOD}=2\hat{COD}`

$\\$

$BE;DE$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại `E` `(B;D` là hai tiếp điểm)

`=>BE=DE`

`\qquad OE` là phân giác `\hat{BOD}`

`=>\hat{BOD}=2\hat{EOD}`

Ta có:

`\hat{AOD}+\hat{BOD}=180°` (hai góc kề bù)

`=>2\hat{COD}+2\hat{EOD}=180°`

`=>\hat{COD}+\hat{EOD}=90°`

`=>\hat{COE}=90°`

`=>∆COE` vuông tại $O$

`=>OD^2=DC.DE=AC.BE` (vì `AC=DC;BE=DE)`

`=>AC.BE=R^2`

$\\$

`c)` Gọi `I` là trung điểm $CE$

`=>OI` là trung tuyến $∆COE$ vuông tại `O`

`=>OI=CI=EI=1/ 2 CE` $(1)$

$\\$

Vì `AC`//$BE$ (cùng $\perp AB$)

`=>ABEC` là hình thang

Ta có: `I` là trung điểm $CE$

`\qquad O` là trung điểm $AB$

`=>OI` là đường trung bình hình thang $ABEC$

`=>OI`//$AC$//$BE$

Mà $AC\perp AB$

`=>AB`$\perp OI$ $(2)$

$\\$

Từ `(1);(2)=>AB` là tiếp tuyến đường tròn đường kính `CE`

$\\$

`d)` Ta có:

`P_{ABEC}=AB+AC+BE+CE`

`=AB+DC+DE+CE`

`=AB+CE+CE=AB+2CE`

$\\$

Vẽ $E F\perp AC$ tại $F$

`=>\hat{BA F}=\hat{A FE}=\hat{ABE}=90°`

`=>ABE F` là hình chữ nhật 

`=>FE =AB;A F=BE`

$\\$

Nếu `C≡F=>CE=F E`

Nếu `C\ne F=>CE> FE` (đường xiên > đường vuông góc)

`=>CE\ge FE` 

`=>CE\ge AB`

`=>AB+2CE\ge AB+2AB`

`=>P_{ABEC}\ge 3AB=3.2R=6R`

Dấu "=" xảy ra khi `C≡F`

$\\$

Vì `OI` là đường trung bình của `ABEC` (c/m trên)

`=>OI={A F+BE}/2={A F+A F}/2=A F=AC`

`=>AC=OI=R`

$\\$

Vậy chu vi `ABEC` nhỏ nhất bằng `6R` khi `C\in Ax` sao cho `AC=R`