Giải thích các bước giải:

1)Vì A nằm chính giữa cung BC,$ME\perp AB, MF\perp AC$

$\to ME\perp EA, MF\perp FA, MO\perp OM$

$\to A,E, O,M,F$ cùng thuộc đường tròn đường kính AM

2)Ta có : $ME\perp AB ,AO\perp BO\to \Delta BEM\sim\Delta BOA(g.g)$

$\to \dfrac{BE}{BO}=\dfrac{BM}{BA}\to BE.BA=BO.BM$

3)Ta có : $AK\perp OM\to AK// BC$

Mà $MK//AB(\perp AC)\to AKMB$ là hình bình hành

$\to BA=MK$

Lại có $ME//AF(\perp AB), MF//AE(\perp AC)\to AEMF $ là hình bình hành

$\to AE=MF$

$\to BA-AE=MK-MF\to BE=KF$

4)Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC

$\to \widehat{OMD}=\widehat{OMA}$

Vì $MN\perp EF\to \widehat{EMN}=\widehat{AMF}(\widehat{MEF}=\widehat{MAF}$

$\to \widehat{NMD}=\widehat{BMD}+\widehat{BME}+\widehat{EMN}=\widehat{AMB}+\widehat{ACB}+\widehat{AMN}=\widehat{BMF}+45^o=\widehat{BMF}+\widehat{FMC}=\widehat{BMC}=180^o$

Vì $A$ chính giữa cung BC $\to \Delta ABC$ vuông cân tại A $,MF\perp AC\to\widehat{MFC}=\widehat{MCF}=45^o$

$\to M, N,D $ thẳng hàng

$\to MN$ luôn đi qua D cố định