Ta có

$\widehat{AHE} = \widehat{BHD} (đối đỉnh)$

$\widehat{AEH} = \widehat{HDB} (=90^{\circ})$

Vậy tam giác AHE đồng dạng với tam giác HBD, suy ra

$\dfrac{HE}{BD} = \dfrac{AH}{HB} = \dfrac{14}{30}$

Lại có tam giác ABD cân tại A nên AD cũng là đường trung tuyến và do đó D là trung điểm BC. Vậy BD = (1/2)BC.

THay vào tỉ số trên ta có

$\dfrac{HE}{BC} = \dfrac{7}{30}$

Ta có tam giác vuông AFH = tam giác vuông AEH (cạnh huyền AH, góc nhọn là $\widehat{FAH} = \widehat{EAH}$ do AD là đường cao tam giác cân ABC nên đồng thời là phân giác $\widehat{BAC}$), suy ra .

Lại có tam giác CDH đồng dạng với tam giác CFB (chung $\widehat{FCB}$ và $\widehat{CDH} = \widehat{CFB} = 90^{\circ}$.

Vậy ta lại có

$\dfrac{CD}{CF} = \dfrac{CH}{CB}$

Vậy

$\dfrac{1/2 BC}{CF} = \dfrac{CH}{CB}$

$ 1/2 BC^2 = CH.CF$

$ 1/2 BC^2 = CH(CH + HF)$

THeo lập luận ở trên, ta có $BC = 30/7 HE $ và $HE = HF$, vậy

$1/2 (30/7)^2 HE^2 = CH (CH + HE)$

Ta có HD là đường cao đồng thời là trung tuyến của tam giác HBC. Vậy tam giác HBC cân tại H, do đó HB = HC = 30 cm.

Thay vào ta có $HE = 35/3$ (cm). Vậy BD = 25 (cm)

Áp dụng Pytago vào tam giác vuông HBD, ta có $HD = \sqrt{30^2 - 25^2} = \sqrt{275}$. Vậy $HD = 5 \sqrt{11}$.

Vậy $AD = AH + HD = 14 + 5 \sqrt{11}$.