a)

Ta thấy BDCˆ=BECˆ=900BDC^=BEC^=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒BD⊥AC,CE⊥AB⇒BD⊥AC,CE⊥AB

Mà BD,CEBD,CE giao nhau tại HH nên HH là trực tâm của tam giác ABCABC

⇒AH⊥BC⇒AH⊥BC hay AI⊥BCAI⊥BC

Từ AI⊥BC,BD⊥AC,CE⊥ABAI⊥BC,BD⊥AC,CE⊥AB:

Xét tứ giác ADHEADHE có tổng 2 góc đối nhau ADHˆ+AEHˆ=900+900=1800ADH^+AEH^=900+900=1800 nên ADHEADHE là tứ giác nội tiếp.

Xét tứ giác ADIBADIB có ADBˆ=AIBˆ(=900)ADB^=AIB^(=900) và 2 góc này cùng nhìn cạnh ABAB nên ADIBADIB là tứ giác nội tiếp.

b)

Vì ADIBADIB là tứ giác nội tiếp nên CD.CA=CI.CB(1)CD.CA=CI.CB(1)

Hoàn toàn tương tự như ADIBADIB thì AEICAEIC cũng là tứ giác nội tiếp

⇒BE.BA=BI.BC(2)⇒BE.BA=BI.BC(2)

Lấy (1)+(2)⇒CD.CA+BE.BA=CI.CB+BI.BC=BC(CI+BI)=BC2(1)+(2)⇒CD.CA+BE.BA=CI.CB+BI.BC=BC(CI+BI)=BC2

Ta có đpcm.

c)

Gọi H′,UH′,U lần lượt là giao của MNMN và AI,AOAI,AO

Ta có: H′IOˆ=AIOˆ=900(3)H′IO^=AIO^=900(3)

Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau: AM=AN,OM=ON⇒AOAM=AN,OM=ON⇒AO là trung trực của MNMN. Do đó AO⊥MNAO⊥MN tại UU

⇒H′UOˆ=900(4)⇒H′UO^=900(4)

Từ (3);(4)⇒H′UOI(3);(4)⇒H′UOI là tứ giác nội tiếp

⇒AH′.AI=AU.AO(5)⇒AH′.AI=AU.AO(5)

ANAN là tiếp tuyến (O)(O) ⇒AN⊥NO⇒AN⊥NO hay tam giác ANOANO vuông tại NN

Xét tam giác ANOANO vuông tại NN, có đường cao NUNU, sử dụng công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông: AU.AO=AN2(6)AU.AO=AN2(6)

Xét tam giác ANDAND và ACNACN có:

AˆA^ chung; ANDˆ=ACNˆAND^=ACN^ (tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

⇒△AND∼△ACN⇒ANAC=ADAN⇒AN2=AC.AD(7)⇒△AND∼△ACN⇒ANAC=ADAN⇒AN2=AC.AD(7)

Tương tự ADHEADHE, ta cũng có CIHDCIHD là tứ giác nội tiếp

⇒AD.AC=AH.AI(8)⇒AD.AC=AH.AI(8)

Từ (5);(6);(7);(8)⇒AH′.AI=AH.AI⇒H≡H′(5);(6);(7);(8)⇒AH′.AI=AH.AI⇒H≡H′

Do đó M,H,NM,H,N thẳng hàng (đpcm)

`d,`Ta có: `ΔADH~ΔAKC`

`⇒(AD)/(AK)=(AH)/(AC)`

`⇒AD.AC=AH.AK(1)`

`ΔADN~ΔANC`

`⇒(AD)/(AN)=(AN)/(AC)`

`⇒AN^2=AD.AC(2)`

`(1)+(2)⇒AH.AK=AN^2`

`⇒(AH)/(AN)=(AN)/(AK)`

`(AH)/(AN)=(AN)/(AK)`

`∠NAK` là góc chung.

`⇒ΔAHN~ΔANK`

`⇒∠ANH=∠NKM`

`⇒ANH=N_1=∠ANM`

`⇒H,N,M` thẳng hàng.