Câu 12:

Bảng phân phối xác suất của biến $X:$

$\begin{array}{|c|c|c|}\hline X&0&1\\\hline P&0,4&0,6\\\hline \end{array}$

$\Rightarrow E(X) = 0.0,4 + 1.0,6 = 0,6$

Bảng phân phối xác suất của biến $Y:$

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline Y&1&2&3\\\hline P&0,3&0,4&0,3\\\hline \end{array}$

$\Rightarrow E(Y) =1.0,3 + 2.0,4 + 3.0,3 = 2$

Từ bảng phân phối ngẫu nhiên 2 chiều, ta được:

$E(XY) = \displaystyle\sum\limits_{i,j}X_iY_jP_{ij}$

$\qquad = 0(1.0,1 + 2.0,2 + 3.0,1) + 1(1.0,2 + 2.0,2 + 3.0,2)$

$\qquad = 1,2$

Khi đó:

$Cov(X,Y) = E(XY) - E(X).E(Y)$

$\qquad = 1,2 - 0,6.2$

$\qquad = 0$

Do đó $X$ và $Y$ độc lập

Câu 13:

$\quad f(x) = \begin{cases}k(x+1),\quad x\in [0;1]\\0,\qquad\qquad x\notin [0;1]\end{cases}$

$f(x)$ là hàm mật độ xác suất khi và chỉ khi

$\quad \displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1$

$\Leftrightarrow \displaystyle\int\limits_{-\infty}^0f(x)dx + \displaystyle\int\limits_{0}^1f(x)dx + \displaystyle\int\limits_{1}^{+\infty}f(x)dx = 1$

$\Leftrightarrow 0 + \displaystyle\int\limits_{0}^1f(x)dx + 0 =1$

$\Leftrightarrow \displaystyle\int\limits_{0}^1f(x)dx = 1$

$\Leftrightarrow \displaystyle\int\limits_{0}^1k(x+1)dx = 1$

$\Leftrightarrow k\left(\dfrac{x^2}{2} + x\right)\Bigg|_0^1 = 1$

$\Leftrightarrow \dfrac{3k}{2} = 1$

$\Leftrightarrow k = \dfrac{2}{3}$

Ta được:

$\quad f(x) = \begin{cases}\dfrac23(x+1),\quad x\in [0;1]\\0,\qquad\qquad\ \ x\notin [0;1]\end{cases}$

$E(x) = \displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx = \displaystyle\int\limits_0^1\dfrac23x(x+1)dx = \dfrac59$

Câu 14:

$\quad f(x) = \begin{cases}6x(1-x),\quad x\in [0;1]\\0,\qquad\qquad\ \ x\notin [0;1]\end{cases}$

$P(0\leqslant X \leqslant 0,5) = \displaystyle\int\limits_0^{0,5}f(x)dx$

$\qquad\qquad = \displaystyle\int\limits_0^{0,5} 6x(1-x)dx$

$\qquad\qquad = 0.5$

Câu 15:

$\quad F(x) = \begin{cases}0,\qquad\qquad\ \ x<0\\\sin2x,\qquad 0\leqslant x \leqslant \dfrac{\pi}{4}\\1,\qquad\qquad\ x > \dfrac{\pi}{4}\end{cases}$

Ta có:

$\quad f(x) = F'(x) =\begin{cases}0,\qquad\qquad\ \ \ x<0\\2\cos2x,\qquad 0\leqslant x \leqslant \dfrac{\pi}{4}\\0,\qquad\qquad\ \ \ x > \dfrac{\pi}{4}\end{cases}$

$\Leftrightarrow f(x) = $\begin{cases}2\cos2x,\quad\ x\in\left[0; \dfrac{\pi}{4}\right]\\0,\quad \qquad \quad x\notin\left[0; \dfrac{\pi}{4}\right]\end{cases}$

Câu 16:

a) Gọi $X$ là số cuộc đến trong khoảng thời gian `2` phút

$1$ phút $\longrightarrow 3$ cuộc gọi

$2$ phút $\longrightarrow ?$ cuộc gọi

$\lambda = \dfrac{2.3}{1} = 6$

$\Rightarrow X$ có phân phối Poission: $X\sim\mathscr{P}(6)$

Xác suất có đúng `5` cuộc gọi đến trong `2` phút:

$P(X =5) = \dfrac{6^5.e^{-6}}{5!} \approx 0,1606$

b) Gọi $Y$ là số cuộc gọi đến trong khoảng thời gian `1` phút

$\Rightarrow Y\sim \mathscr{P}(3)$

Xác suất có ít nhất `1` cuộc gọi đến trong `1` phút:

$P(Y \geqslant 1) = 1 - P(Y = 0) = 1 - \dfrac{3^0.e^{-3}}{0!} \approx 0,0498$