Câu 1:

Gọi $X$ là tuổi thọ trung bình của mạch điện tử

Ta có: $E(X) = \dfrac{1}{\lambda} = 3$

$\Rightarrow \lambda = \dfrac{1}{3}$

$\Rightarrow X\sim \mathscr{E}\left(\dfrac13\right)$

Tỉ lệ mạch điện tử bán ra phải thay thế:

$P(X \leqslant 2) = 1 - e^{-\tfrac13\cdot 2}\approx 0.4866$

Vậy tỉ lệ mạch điện tử bán ra phải thay thế khoảng $48,66\%$

Câu 2:

Gọi $X$ là số phế phẩm có trong `15` sản phẩm được chọn. $X = 0,1,2,\dots,15$

$\Rightarrow X\sim\mathscr{B}(15;0,03)$

Giá trị tin chắc nhất của $X:$

$\quad15.0,03 - 0,97 \leqslant mod(X) \leqslant 15.0,03 + 0,03$

$\Leftrightarrow -0,52 \leqslant mod(X) \leqslant 0,42$

$\Rightarrow mod(X) = 0$

Vậy số phế phẩm tin chắc nhất là `0` phế phẩm

Câu 3:

$n = 50.100 = 5000$

$m = 450$

Tỉ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn trong mẫu:

$f = \dfrac{m}{n} = \dfrac{450}{5000} = 0,09$

a) Ta có:

$1 - \alpha = 0,99 \Rightarrow Z_{\tfrac{\alpha}{2}} = \varphi^{-1}(0,495) = 2,58$

Độ chính xác:

$\varepsilon = Z_{\tfrac{\alpha}{2}}\sqrt{\dfrac{f(1-f)}{n}} = 2,58\sqrt{\dfrac{0,09(1-0,09)}{5000}} = 0,01044$

Gọi $p$ là tỉ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn

Khoảng ước lượng tỉ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn:

$p\in \left(0,09- 0,01044;0,09 + 0,01044\right) = (0,07956;0,10044)$

Vậy tỉ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn khoảng từ $7,956\%$ đến $10,044\%$ với độ tin cậy $99\%$

b) Ta có:

$\quad \varepsilon = 0,005$

$\Leftrightarrow Z_{\tfrac{\alpha}{2}}\sqrt{\dfrac{0,09(1-0,09)}{5000}} = 0,005$

$\Leftrightarrow Z_{\tfrac{\alpha}{2}} = 1,24$

$\Leftrightarrow \dfrac{1- \alpha}{2} = 0,3925$

$\Leftrightarrow 1- \alpha = 0,785$

Vậy độ tin cậy khoảng $78,5\%$