Đáp án:

Góc tạo bởi mặt bên (SBC) và mặt đáy bằng \(70,53^\circ \)

Giải thích các bước giải:

 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm của BC

Suy ra A, G, M thẳng hàng và \(AG = \frac{2}{3}AM\)

Do \(S.ABC\) là tứ diện đều nên \(SG \bot \left( {ABC} \right)\)

Tam giác ABC là tam giác đều nên \(AM \bot BC\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Tam giác SBC là tam giác đều nên \(SM \bot BC\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Mặt khác, \(\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

Từ (1); (2); (3) suy ra góc tạo bởi mặt bên (SBC) và mặt đáy là góc giữa SM và AM

Do đó, \(\widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {SMG}\)

Ta có:

Tam giác ABC đều cạnh bằng a nên \(AM = \frac{{\sqrt 3 }}{2}BC = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AG = \frac{2}{3}AM = \frac{{\sqrt 3 }}{3}a\\
GM = \frac{1}{3}AM = \frac{{\sqrt 3 }}{6}a
\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}
SG \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SG \bot GA \Rightarrow SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}}  = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}a} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt 6 a}}{3}\\
 \Rightarrow \tan SMG = \frac{{SG}}{{GM}} = \frac{{\sqrt 6 a}}{3}:\frac{{\sqrt 3 a}}{6} = 2\sqrt 2  \Rightarrow \widehat {SMG} = 70,53^\circ 
\end{array}\)

Vậy góc tạo bởi mặt bên (SBC) và mặt đáy bằng \(70,53^\circ \)