Gọi vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $n(a, b, c)$

Do $(P) \perp (\alpha)$ nên $n \perp (1,4,1)$

Suy ra

$a + 4b + c = 0$

$<-> 2a + 8b + 2c = 0$

Lại có $(P) // \vec{v} = (1, 6, 2)$ nên $n \perp \vec{v}$ nên

$a + 6b + 2c = 0$

Lấy ptrinh trên trừ ptrinh dưới ta có

$a + 2b = 0$

$<-> a = -2b$

Thay vào ptrinh trên ta có

$-2b + 4b + c = 0$

$<-> c + 2b = 0$

$<-> c = -2b$

Vậy vector pháp tuyến có dạng $(-2b, b, -2b) // (2, -1, 2)$

Vậy ptrinh mphang $(P)$ có dạng

$(P): 2x - y + 2z + c = 0$

Ta có ptrinh đường tròn

$(S): (x-1)^2 + (y+3)^2 + (z-2)^2 = 16$

Vạy đường tròn tâm (1, -3, 2) và bán kính là 4

Do mphang (P) tiếp xúc đường tròn nên khoảng cách từ tâm đến (P) bằng bán kính và bằng 4. Do đó

$\dfrac{|2.1 -(-3) + 2.2 + c|}{\sqrt{2^2 + 1 + 2^2}} = 4$

$<-> |c + 9| = 12$

Vậy $c = 3$ hoặc $c = -21$

Vậy mặt phẳng (P) là

$(P): 2x -y + 2z + 3 = 0$ hoặc $(P): 2x - y + 2z - 21 = 0$

Đáp án C.