Giải thích các bước giải:

Giả thiết:

Nửa đường tròn $(O), AB$ là đường kính

$Ax\perp AO, Bx\perp OB$

$M\in Ax, N\in By, \widehat{MON}=90^o$

$IM=IN=\dfrac12MN$

Kết luận:

a.$AB$ là tiếp tuyến của $(I,IO)$

b.$MO$ là phân giác $\widehat{AMN}$

c.$MN$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $AB$

a.Ta có $AM, BN$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to AM\perp AO, BN\perp OB$

$\to AM\perp AB, BN\perp AB$

$\to ABNM$ là hình thang vuông

Mà $O, I$ là trung điểm $AB, MN$

$\to OI$ là đường trung bình hình thang $ABNM$

$\to OI//AM//BN$

Mà $AM\perp AB\to OI\perp AB$
$\to AB$ là tiếp tuyến của $(I,IO)$

b.Ta có $\Delta MON$ vuông tại $O, I$ là trung điểm $MN$

$\to IO=IM=IN=\dfrac12MN$

$\to\Delta IOM,\Delta ION$ cân tại $I$

Ta có $OI//AM$

$\to\widehat{IMO}=\widehat{IOM}=\widehat{OMA}$

$\to MO$ là phân giác $\widehat{AMI}$

$\to MO$ là phân giác $\widehat{AMN}$

c.Kẻ $OC\perp MN$

Ta có $MO$ là phân giác $\widehat{AMN}$ 

            $OC\perp MN, OA\perp MA$

$\to OC=OA$

$\to C\in (O, \dfrac12AB)$

Lại có $OC\perp MN\to MN$ là tiếp tuyến của $(O,\dfrac12AB)$

$\to MN$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $AB$