Giải thích các bước giải :

a) Xét ΔABC có :

M trung điểm AB ( gt )

N trung điểm AC ( gt )

Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC( định nghĩa đường trung bình của tam giác )

⇒ MN//BC và MN = $\frac{BC}{2}$ ( định lí 2 về đường trung bình của tam giác )

Xét tứ giác MNCB có

MN//BC ( cmt )

Nên MNCB là hình thang ( định nghĩa hình thang )

Hình thang MNCB có :

∠B = ∠C ( 2 góc ở đáy của tam giác cân ABC )

Nên MNCB là hình thang cân(dấu hiệu nhận biết hình thang cân)

b)

Ta có: AH là đường trung tuyến ứng với cạnh BC của ΔABC cân tại A(H là trung điểm của BC)

nên AH cũng là đường cao ứng với cạnh BC(định lí tam giác cân)

⇒AH⊥BC

Xét tứ giác AHCD có

N là trung điểm của đường chéo AC (gt)

N là trung điểm của đường chéo HD(H và D đối xứng nhau qua N)

Do đó: AHCD là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành AHCD có : 

∠AHC = ∠90 ( AH ⊥ BC )

Nên AHCD là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

Ta có: MN//BC(cmt)

nên MN//HC(H∈BC)

Ta có: MN//HC(cmt)

HC//AD(hai cạnh đối trong hình chữ nhật ADCH)

Do đó: MN//AD(định lí 3 từ vuông góc tới song song)

Ta có : 

MN = $\frac{BC}{2}$ ( cmt )

mà BH = HC = $\frac{BC}{2}$ ( H là trung điiểm BC )

nên MN=BH=HC

mà HC=AD(hai cạnh đối trong hình chữ nhật AHCD)

nên MN=AD

Xét tứ giác AMND có MN//AD( cmt ) và MN=AD ( cmt )

nên AMND là hình bình hành ( dấu hiệu nhận biết hình bình hành )

c/Gọi giao điểm HD và MC là K, N,H là trung điểm AC,BC

nên HN//AB

mà H là trung điểm BC nên K là trung điểm MC

Ta có :

BM = ND =$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AC ( AHCD là hình chữ).(1)

Ta lại có :

HN//AB 

N là trung điểm AC

nên NK là đường trung bình của Δ AMC

⇒ NK = $\frac{1}{2}$AM = $\frac{1}{2}$BM(2)

Từ (1) và (2) suy ra NK=$\frac{1}{2}$ND

mà K là trung điểm MC nên N là trọng tâm Δ CMD

d ) Xét tứ giác BMDN có :

BM = ND [ =NC, AHCD là hình chữ nhật ( cmt )]

Và BM//ND [ BM//HD (cmt )]

⇒ BMDN là hình bình hành 

⇒ MD // BN 

Lại có :

N là trung điểm HD

⇒ BN đi qua trung điểm HE

Mai mik sẽ vẽ hình !

Đáp án:

`a,`

Xét `\triangle ABC` có: `M,N` là trung điểm `AB,AC`

`→MN` là đường trung bình `\triangle ABC`

$→MN//BC$

`-> MNCB` là hình thang

mà: `hat(B) = hat(C)` `(``\triangle ABC` cân tại `A)`

`-> MNCB` là hình thang cân

----------------------------

`b,`

Ta có: `D` đối xứng với `H` qua `N``→N` là trung điểm `HD`

mà: `N` là trung điểm `AC`

`-> AHCD` là hình bình hành `(2` đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường `)`

`\triangle ABC`cân tại `A` có `H` là trung điểm `CB`

`-> AH ⊥ BC`

`→AHCD` là hình chữ nhật

$\to AD//CH, AD=CH$

Có: `MN` là đường trung bình `\triangle ABC`

`->` $MN //BC,$ `MN = 1/2 BC`

`->` $MN //CH,$ `MN = CH` `(H ∈ BC, CH = 1/2 BC)`

`→` $\begin{cases} MN//AD(//CH)\\MN=AD(=CH) \end{cases}$

`→ADNM` là hình bình hành

----------------------------

`c,`

Do: `ADNM` là hình bình hành `(cmt)`

`→ 2` đường chéo `AN` và `MD` cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

`→CN` đi qua trung điểm `MD`

`→CN` là trung tuyến`\triangle CMD` `(1)`

Có $MN//CH,MN=CH$

`→MNCH` là hình bình hành

`→ 2` đường chéo `MC` và `NH` cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

`→HN` đi qua trung điểm `CM`

`→DN` đi qua trung điểm `CM`

`→DN` là trung tuyến `\triangle DMC` `(2)`

`(1),(2)→N` là trọng tâm `\triangle DMC`

----------------------------

`d,`

Gọi `F` là giao điểm HE` và `BN,` `G` là trung điểm `NC`

Do: `N` là trọng tâm `\triangle DMC` `(cmt)`

`→NG=GC=1/2NC=NE` `→G,N` là trung điểm `NC,GE`

mà `H` là trung điểm `BC`

`→GH` là đường trung bình `\triangle BCN`

$→GH//BN→HG//FN$

Có: `N` là trung điểm `EG`

`→F` là trung điểm `HE`

`→BN` đi qua trung điểm `HE`

`#dariana`